列空间（column space）和零空间（null space）

上一篇中简单介绍了向量空间（vector space）和子空间（subspace），也知道了R³有4个子空间：R³本身，过原点的平面，过原点的直线以及单独的零向量。现假设过原点的面为P，过原点的直线为L，L不在P上，那么容易理解L和P的并集（union）并不是R³的子空间，因为如果我分别取L和P中的向量进行相加，得到的结果就不在平面或直线上了，这个结论可推至一般，即某向量空间的两个子空间的并集不是该向量空间的子空间，同样对于交集，我们容易得出某向量空间的两个子空间的交集（intersection）仍然是该向量空间的子空间，只不过可能范围比原来小一点。

矩阵A的列空间（column space）

假设A=   ，则A的列空间C(A)是R⁴的子空间，C(A)中是A中列的线性组合，下面我们将列空间与线性方程组联系起来，以更好的认识Ax=b，首先Ax=b不是对所有b均有解，因为三个向量的组合不可能覆盖整个4维空间，那么什么样的b会使得该方程有解呢？首先很明显的是当b为零向量时该方程组有解   ，任何时候b为零向量方程组都是有解的，其实仔细想想我们知道只有当b是A中列的线性组合时这个方程才有解，也就是说当且仅当b属于A的列空间C(A)时Ax=b有解，因此矩阵的列空间非常重要，因为它能告诉我们方程什么时候有解。

矩阵A的零空间（null space）

零空间是跟列空间完全不同的子空间，A的列空间关心的是什么样的b使得Ax=b有解，而A的零空间则关心的是当b为零向量，即Ax=0时所有的解x，也就是说列空间关心的是b，而零空间关心的是b=0时的x，还是以A=   为例，其零空间是什么？首先可以肯定的是它是R³的一个子空间，注意刚刚的列空间是R⁴的子空间，不管矩阵A是多少，其零空间N(A)一定包含零向量，在这个例子中，我们容易得到其他的解向量x为 ，推广一下可得所有形如 的向量都在A的零空间里，这个零空间是R³中的一条两端延伸且过原点的直线。

那么零空间是向量空间吗？很显然是的，因为假设b=0时方程组有两个解x1和x2，那么它们的线性组合仍然是方程组的解，即Ax1=0，Ax2=0，那么A(c1x1+c2x2)=0，所以Ax=0的解构成一个子空间。

既然讲了矩阵的零空间是向量空间，那么我们可以看一下b不等于0时的情况，假设现有 ，刚刚已经说过，如果随便取b，很有可能方程无解，但这里给出的b很简单，有些解一下子就能看出来，但我们不关心那些解是什么，我们关心的是这些解构成向量空间吗？假设x1和x2是两个解，很显然c1x1+c2x2不再是方程的解，因此当b不等于0时，这些解就不构成向量空间了，或者我们通过零向量也可看出这些解不构成向量空间，前面我们说所有的向量空间都必须包含零向量，不包含零向量的肯定不是向量空间，这里当x= 时显然不能满足方程，因此这些解不构成向量空间。