行列式及其性质

行列式（determinant）是方阵的一个重要特征，常记作detA或者|A|，其包含了矩阵的很多重要信息。行列式为0，则矩阵不可逆，否则矩阵可逆，所以行列式可用来检验矩阵的可逆性。这篇文章主要介绍行列式的10个性质。

性质1：单位矩阵的行列式为1

性质2：如果交换矩阵的两行，则行列式的符号要取反。从这个性质我们可得出置换矩阵的行列式总是为1或-1，这取决于行交换的次数，行交换奇数次则为-1，偶数则为1。

性质3.1：如果用某数t乘以矩阵的一行，则行列式等于原行列式的t倍，即

性质3.2：

注意性质3两个性质都是关于行的线性，并不是整个矩阵的线性。而且我这里举例用了第一行，其实对其他行也是这样的性质，但是不管怎样不能同时组合第1行和第2行。

性质4：如果矩阵中有两行相等，那么行列式为0。假设m*n的矩阵A中，第2行和第3行相等，交换第2行和第3行，矩阵不变，但是根据性质2行列式符号会取反，也就是|A|=-|A|，则|A|=0，可以看到这跟结论有两个行相等的矩阵不可逆是一致的。

性质5：从矩阵的行k减去行i的l倍，行列式不会改变，即消元过程不改变行列式。根据性质3.2可证明这个性质：

性质6：若矩阵中有一行是全0，则|A|=0。根据性质3.1，取t=0即可证明。

性质7：三角阵的行列式等于对角线元素乘积。现假设有上三角阵 ，这个矩阵很常见，因为通过消元总能得到这样的三角阵，det(U)=d1d2…dn，实际上matlab中也是根据这种方法求行列式的。假设主元都不为0，我们可以再对U向上消元，那么星号的地方都会被消为0，此时我们再利用性质3就可得到：

但是如果主元位置上出现0，我们将得到全零行，利用性质6，则行列式为0。根据性质7，我们掌握了一种求解行列式的方法，即消元。比如对于我们所熟知的 ，根据消元法有 ，也能得出其行列式为ad-bc。

 

性质8：当且仅当A是奇异阵时，detA=0，否则就是非奇异阵。

性质9：detAB=det(A)det(B)。但是要注意行列式不具有加法性质，即不成立det(A+B)=detA+detB，性质9是非常有用的公式，比如说通过性质9我们可以求A^-1的行列式，det（I）=1=det(A)det(A^-1)，所以det(A^-1)=1/det(A)；另外如果A是对角阵，比如A= ，那么根据性质9我们可以快速写出A^-1= ；此外还有det(A²)=(detA)²，既然前面提到det(A+B)=detA+detB不成立，那么如果矩阵乘以2行列式会变为多少呢？根据性质3.1有行列式det(2A)=2ⁿdetA，其中A是n*n的矩阵，这就像求体积，对于一个立方体，令每条边乘以2，体积是2的n次方倍，对于三维的立方体，体积就是原来的8倍。

性质10：det(A^T)=det(A)。这个性质表明前面所说的所有对行的性质，对列也是成立的。例如，如果存在全零列，行列式也为0。