《算法与数据结构》学习笔记8---递归

前言

    本内容为本人学习笔记，课程来自极客时间数据结构与算法。

正文

    递归是一种应用广泛的算法，在许多的数据结构和算法的实现中都用到了它，比如深度优先搜索、前序中序后序二叉树的遍历等。举一个感觉有点傻的例子，假如要去电影院看电影，因为各种原因不知道自己现在在第几排，于是你就问前面一排的人他是第几排，你只要在他的数字上加一就知道自己在哪一排了。但是，前面的人也看不清啊，所以他也问他前面的人。就这样一排一排往前问，直到问到第一排的人，说我在第一排，然后再这样一排一排再把数字传回来。直到你前面的人告诉你他在哪 一排，于是就知道了答案。
    这就是一个非常标准的递归求解问题的分解过程，去的过程叫“递”，回来的过程叫“归”。基本上，所有的递归问题都可以用递推公式来表示。

   f(n) = f(n-1) + 1   其中，f(1) = 1

    f(n) 表示你想知道自己在哪一排，f(n-1) 表示前面一排所在的排数，f(1)=1 表示第一排的人知道自己在第一排。有了这个递推公式，我们就可以很轻松地将它改为递归代码：

int f(int n) {
  if (n == 1) return 1;
  return f(n-1) + 1;
}

递归需要满足的三个条件

1. 一个问题的解可以分解为几个子问题的解
   子问题就是数据规模更小的问题。比如，前面讲的电影院的例子，如果要知道“自己在哪一排”的问题，可以分解为“前一排的人在哪一排”这样一个子问题。
2. 这个问题与分解之后的子问题，除了数据规模不同，求解思路完全一样
   还是上面那个例子，要求解“自己在哪 一排”这个问题的思路，和前面一排在求解“自己在哪 一排”的思路是一毛一样的。
3. 存在递归终止条件
   把问题分解为一层层的子问题，不能存在无限循环，因此就需要有终止条件。因为电影院第一排的人不需要再询问就知道自己的排数，也就是f(1)=1，这就是终止条件。

如何编写递归代码？

1. 写出递推公式
2. 找到终止条件
3. 将递推公式转化为代码

    假如这里有 n 个台阶，每次你可以跨 1 个台阶或者 2 个台阶，请问走这 n 个台阶有多少种走法？
    实际上，可以根据第一步的走法把所有走法分为两类，第一类是第一步走了 1 个台阶，另一类是第一步走了 2 个台阶。所以 n 个台阶的走法就等于 先走 1 阶后的n-1 个台阶的走法 加上 先走 2 阶后的n-2 个台阶的走法。

     f(n) = f(n-1)+f(n-2)

    前面有了递推公式，下面来看终止条件。直接能想到的是当有一个台阶时，就不需要再递推了，即f(1)=1。当n=2 时，f(2)=f(1)+f(0)。如果递归终止条件只有一个 f(1)=1，那 f(2) 就无法求解了。所以除了 f(1)=1 这一个递归终止条件外，还要有 f(0)=1，表示走 0 个台阶有一种走法，不过这样子看起来就不符合正常的逻辑思维了。所以，我们可以把 f(2)=2 作为一种终止条件，表示走 2 个台阶，有两种走法，一步走完或者分两步来走。所以，递归终止条件就是 f(1)=1，f(2)=2。可以拿n=3和n=4验证一下。最终的样子是这：

    f(1) = 1;
    f(2) = 2;
    f(n) = f(n-1)+f(n-2)

    所以递归代码为：

    int f(int n) {
      if (n == 1) return 1;
      if (n == 2) return 2;
      return f(n-1) + f(n-2);
    }

    电影院的例子，递归调用只有一个分支，也就是说“一个问题只需要分解为一个了问题”，这很容易能够想清楚“递”和“归”的每一个步骤，所以写和理解都不是大问题。但是，当一个问题要分解成多个子问题时，情况就复杂了，理解起来也就困难了。
    如果一个问题 A 可以分解为若干子问题 B、C、D，可以假设子问题 B、C、D 已经解决，在此基础上思考如何解决问题 A。而且，你只需要思考问题 A 与子问题 B、C、D 两层之间的关系即可，不需要一层一层往下思考子问题与子子问题，子子问题与子子子问题之间的关系。屏蔽掉递归细节，这样子理解起来就简单多了。因此，编写递归代码的关键是，只要遇到递归，就把它抽象成一个递推公式，不用想一层层的调用关系，不要试图用人脑去分解递归的每个步骤。

递归代码要警惕堆栈溢出
    在实际的软件开发中，编写递归代码时，可能会遇到很多问题，比如堆栈溢出。而堆栈溢出会造成系统性崩溃，后果会非常严重。为什么递归代码容易造成堆栈溢出呢？那又该如何预防堆栈溢出呢？
    函数调用会使用栈来保存临时变量。每调用一个函数，都会将临时变量封装为栈帧压入内存栈，等函数执行完成返回时，才出栈。系统栈或者虚拟机栈空间一般都不大。如果递归求解的数据规模很大，调用层次很深，一直压入栈，就会有堆栈溢出的风险。比如前面的讲到的电影院的例子，如果我们将系统栈或者 JVM 堆栈大小设置为 1KB，在求解 f(19999) 时便会报错。
    那如何以免溢出呢？
    可以通过在代码中限制递归调用的最大深度的方式来解决这个问题。递归调用超过一定深度以后，就不继续往下再递归了，直接返回报错。但是这样的做法并不能完全解决问题，因为最大允许的递归深度跟当前线程剩余的栈空间大小有关，事先无法计算。如果实时计算，代码会很复杂，就会影响代码的可读性。所以，如果最大深度比较小，比如 10、50，就可以用这种方法，否则…

递归代码要警惕重复计算
    递归还会出现重复计算的问题。以第二个例子（上台阶）为例。假设现在有六阶台阶：

f(6) = f(5) + f(4)
     = (f(4)+f(3)) + (f(3)+f(2))
     = ((f(3)+f(2))+(f(2)+f(1))) + ((f(2)+f(1))+f(2))

    想要计算 f(5)，需要先计算 f(4) 和 f(3)，而计算 f(4) 还需要计算 f(3)，因此，f(3) 就被计算了很多次，这就是重复计算问题。
    为了避免重复计算，可以通过一个数据结构（比如散列表）来保存已经求解过的 f(k)。当递归调用到 f(k) 时，先看下是否已经求解过了。如果是，则直接从散列表中取值返回，不需要重复计算，这样就能避免刚讲的问题了。

public int f(int n) {
  if (n == 1) return 1;
  if (n == 2) return 2;
  
  // hasSolvedList 可以理解成一个 Map，key 是 n，value 是 f(n)
  if (hasSolvedList.containsKey(n)) {
    return hasSovledList.get(n);
  }
  
  int ret = f(n-1) + f(n-2);
  hasSovledList.put(n, ret);
  return ret;
}

    除了堆栈溢出、重复计算这两个常见的问题。递归代码还有很多别的问题。在时间效率上，递归代码里多了很多函数调用，当这些函数调用的数量较大时，就会积聚成一个可观的时间成本。在空间复杂度上，因为递归调用一次就会在内存栈中保存一次现场数据，所以在分析递归代码空间复杂度时，需要额外考虑这部分的开销，比如我们前面讲到的电影院递归代码，空间复杂度并不是 O(1)，而是 O(n)。

怎么将递归代码改写为非递归？
    递归有利有弊，利是递归代码的表达力很强，写起来非常简洁；而弊就是空间复杂度高、有堆栈溢出的风险、存在重复计算、过多的函数调用会耗时较多等问题。所以，在开发过程中，我们要根据实际情况来选择是否需要用递归的方式来实现。
    笼统的讲，所有的递归代码都可以改为迭代循环的非递归写法。因为递归本身就是借助栈来实现的，只不过我们使用的栈是系统或者虚拟机本身提供的，我们没有感知罢了。如果我们自己在内存堆上实现栈，手动模拟入栈、出栈过程，这样任何递归代码都可以改写成看上去不是递归代码的样子。但是这种思路实际上是将递归改为了“手动”递归，本质并没有变。

最终推荐人问题
描述：推荐注册返佣金的这个功能我想你应该不陌生吧？现在很多 App 都有这个功能。这个功能中，用户 A 推荐用户 B 来注册，用户 B 又推荐了用户 C 来注册。我们可以说，用户 C 的“最终推荐人”为用户 A，用户 B 的“最终推荐人”也为用户 A，而用户 A 没有“最终推荐人”。
一般来说，我们会通过数据库来记录这种推荐关系。在数据库表中，我们可以记录两行数据，其中 actor_id 表示用户 id，referrer_id 表示推荐人 id。

actor_id	referer_id
B	A
C	B

long findRootReferrerId(long actorId) {
  Long referrerId = select referrer_id from [table] where actor_id = actorId;
  if (referrerId == null) return actorId;
  return findRootReferrerId(referrerId);
}

但其实，这几行代码并不能工作：

1. 如果递归很深，可能会有堆栈溢出的问题。
2. 如果数据库里存在脏数据，我们还需要处理由此产生的无限递归问题。比如 demo 环境下数据库中，测试工程师为了方便测试，会人为地插入一些数据，就会出现脏数据。如果 A 的推荐人是 B，B 的推荐人是 C，C 的推荐人是 A，这样就会发生死循环。

第一个问题，可以用限制递归深度来解决。第二个问题，也可以用限制递归深度来解决。不过，还有一个更高级的处理方法，就是自动检测 A-B-C-A 这种“环”的存在。

平时调试代码喜欢使用 IDE 的单步跟踪功能，像规模比较大、递归层次很深的递归代码，几乎无法使用这种调试方式。对于递归代码，什么好的调试方法呢？

• 打印日志发现递归值
• 结合条件断点进行调试