LeetCode算法题-镜面反射（Mirror Reflection）

1. 题目：

有一个四面墙都有镜子的特殊正方形房间。除了西南角之外，其他三个角都有接收器，编号为0， 1， 2。方形房间的墙长度为p，有一束射线从西南角照射到东面的墙上，到墙角0的距离为q。请找出射线遇到的第一个接收器的编号（可以保证射线最终会遇到一个接收器）。

例如：

输入：p = 2， q = 1

输出：2

解释：当射线第一次反射到左边墙上的时候，会遇到接收器2。

注意：

1. 1 <= p <= 1000

2. 0 <= q <= p

 

2. 解释：

这道题如果直接硬解会比较复杂，可以用多次空间想象降低复杂度。

第一步：将射线照射方向直线延长，按照横向和纵向展开方形房间，如下图：

将射线直线延长后，遇到第一个接收器时，可以得到边长x,y的三角形，该三角形是通过边长p，q的三角形延长得到的，所以x/p = y/q，因为x/p为整数，所以y/q也为整数，又因为y同时也是方形边长p的整数倍，所以设存在整数变量n，y=np，找出最小值n满足np是q的整数倍即可，即可得到公式：

n = 1;  while( p*n % q != 0) n += 1 ;

通过上面的公式可以得出满足q和p最小公倍数y的变量n，y=np, x=（np/q）* p， 记住n、x和y的值对后面的推导很关键。

 

第二步：只在横向方向展开方形房间，射线会发生反射，如下图：

将方形房间按照横向展开，射线只在横轴发生发射，接收器0在下方，接收器1和2在上方，当射线反射2次、4次、6次、8次等2的倍数次才能遇到在下方的接收器0，那么反射的次数乘以方形边长p即等于第一步纵向展开的y，又因为第一步已经推导出了y=np，所以n即为反射的次数，当n为偶数时，射线会遇到接收器0，可得到公式：

if( n % 2 ==0 ) return 0;

 

第三步：还是只在横向方向展开方向房间，如下图：

当射线遇到接收器1时，横向距离x为X1，观察图可知X1是方形边长p的奇数倍，当射线遇到接收器2时，横向距离x为X2，观察图可知X2为方形边长p的偶数倍，第一步中已得到x=（np/q）* p，那么x的方形边长p的倍数为：（np/q）* p / p = np/q，可得到公式：

int r = p*n /q; 

if(r % 2 ==0) return 2; 

if(r % 2 ==1) return 1;

 

3. 总结：

该题考察的是对空间想象的能力，通过上面三步对方形房间的空间展开，很大程度降低了解题难度，综合每步得到的公式，汇总可以得到该题的正确答案：

public int mirrorReflection(int p, int q) {
 
    int n = 1;
    while( p*n % q != 0) n += 1 ;
    if( n % 2 ==0 ) return 0;
	
    int r =  p*n /q;
    if(r % 2 ==0) return 2;
    if(r % 2 ==1) return 1;
    
    return -1;
}