线性代数学习笔记（六）——行列式的计算（二）
本篇笔记介绍了三叉型行列式、范德蒙德行列式、反对称行列式和对称行列式。其中三叉型行列式采用加边法求值，范德蒙德行列式通过公式求值，还介绍了范德蒙德行列式公式的证明，以及一些比较隐秘的范德蒙德行列式。对于反对称行列式和对称行列式介绍了一些性质，其中奇数阶的反对称行列式值为零。
1 三叉型行列式
例6：
∣ a + a 1 1 ⋯ 1 1 1 + a 2 ⋯ 1 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 1 1 ⋯ 1 + a n ∣ n \begin{vmatrix} a+a_1&1&{\cdots}&1\\ 1&1+a_2&{\cdots}&1\\ {\vdots}&{\vdots}&{\ddots}&{\vdots}\\ 1&1&{\cdots}&1+a_n\\ \end{vmatrix}_n ∣∣∣∣∣∣∣∣∣a+a11⋮111+a2⋮1⋯⋯⋱⋯11⋮1+an∣∣∣∣∣∣∣∣∣n
解：使用加边法构造以下新行列式：
= ∣ ① ① ① ⋯ ① ( 0 ) 1 + a 1 1 ⋯ 1 ( 0 ) 1 1 + a 2 ⋯ 1 ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ( 0 ) 1 1 ⋯ 1 + a n ∣ n + 1 =\begin{vmatrix} ①&①&①&{\cdots}&①\\ (0)&1+a_1&1&{\cdots}&1\\ (0)&1&1+a_2&{\cdots}&1\\ {\vdots}&{\vdots}&{\vdots}&{\ddots}&{\vdots}\\ (0)&1&1&{\cdots}&1+a_n\\ \end{vmatrix}_{n+1} =∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣①(0)(0)⋮(0)①1+a11⋮1①11+a2⋮1⋯⋯⋯⋱⋯①11⋮1+an∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣n+1
加一行：所有元素为1；
加一列：从第2列元素开始全为0。
这样加的目的是：不改变原行列式的值（按第1列展开可发现：第1行第1列的1乘以其代数余子式就是原来的行列式）。
然后第1行×(-1)依次加到第 2 、 3... n 2、3...n 2、3...n行上去：
= ∣ 1 1 1 ⋯ 1 − 1 a 1 0 ⋯ 0 − 1 0 a 2 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ − 1 0 0 ⋯ a n ∣ n + 1 =\begin{vmatrix} 1&1&1&{\cdots}&1\\ -1&a_1&0&{\cdots}&0\\ -1&0&a_2&{\cdots}&0\\ {\vdots}&{\vdots}&{\vdots}&{\ddots}&{\vdots}\\ -1&0&0&{\cdots}&a_n\\ \end{vmatrix}_{n+1} =∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣1−1−1⋮−11a10⋮010a2⋮0⋯⋯⋯⋱⋯100⋮an∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣n+1
不难发现，行列式变成了三叉型|↸。
依次将第2列× 1 a 1 \frac1{a_1} a11加到第1列，第3列× 1 a 2 \frac1{a_2} a21加到第1列，第n+1列× 1 a n \frac1{a_n} an1加到第1列（字母放在分母上时要判断是否为0）：
= ∣ 1 + 1 a 1 + 1 a 2 + . . . + 1 a n 1 1 ⋯ 1 0 a 1 0 ⋯ 0 0 0 a 2 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 0 0 ⋯ a n ∣ n + 1 =\begin{vmatrix} 1+\frac1{a_1}+\frac1{a_2}+...+\frac1{a_n}&1&1&{\cdots}&1\\ 0&a_1&0&{\cdots}&0\\ 0&0&a_2&{\cdots}&0\\ {\vdots}&{\vdots}&{\vdots}&{\ddots}&{\vdots}\\ 0&0&0&{\cdots}&a_n\\ \end{vmatrix}_{n+1} =∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣1+a11+a21+...+an100⋮01a10⋮010a2⋮0⋯⋯⋯⋱⋯100⋮an∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣n+1
很明显，上述行列式为上三角型行列式，故：
= ( 1 + 1 a 1 + 1 a 2 + . . . + 1 a n ) a 1 a 2 . . . a n =(1+\frac1{a_1}+\frac1{a_2}+...+\frac1{a_n})a_1a_2...a_n =(1+a11+a21+...+an1)a1a2...an
准则：加边不能改变行列式的值。
2 范德蒙德行列式
2.1 计算公式
例7：
∣ 1 1 1 ⋯ 1 x 1 x 2 x 3 ⋯ x n ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ x 1 n − 2 x 2 n − 2 x 3 n − 2 ⋯ x n n − 2 x 1 n − 1 x 2 n − 1 x 3 n − 1 ⋯ x n n − 1 ∣ = ∏ 1 ≤ j < i ≤ n ( x i − x j ) \begin{vmatrix} 1&1&1&{\cdots}&1\\ x_1&x_2&x_3&{\cdots}&x_n\\ {\vdots}&{\vdots}&{\vdots}&{\ddots}&{\vdots}\\ x_1^{n-2}&x_2^{n-2}&x_3^{n-2}&{\cdots}&x_n^{n-2}\\ x_1^{n-1}&x_2^{n-1}&x_3^{n-1}&{\cdots}&x_n^{n-1}\\ \end{vmatrix}=\prod_{1≤j
1 1 1相当于 x 1 0 x_1^0 x10， x 1 x_1 x1相当于 x 1 1 x_1^1 x11；
j j j在前， i i i在后，并且 j ≠ i j≠i j=i；
右侧的连乘积共有 C n 2 = n ( n − 1 ) 2 C_n^2=\frac{n(n-1)}2 Cn2=2n(n−1)项。
举例1：
D = ∣ 1 1 1 1 1 x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 1 2 x 2 2 x 3 2 x 4 2 x 5 2 x 1 3 x 2 3 x 3 3 x 4 3 x 5 3 x 1 4 x 2 4 x 3 4 x 4 4 x 5 4 ∣ D=\begin{vmatrix} 1&1&1&1&1\\ x_1&x_2&x_3&x_4&x_5\\ x_1^2&x_2^2&x_3^2&x_4^2&x_5^2\\ x_1^3&x_2^3&x_3^3&x_4^3&x_5^3\\ x_1^4&x_2^4&x_3^4&x_4^4&x_5^4\\ \end{vmatrix} D=∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣1x1x12x13x141x2x22x23x241x3x32x33x341x4x42x43x441x5x52x53x54∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
解：当 j = 1 j=1 j=1时， i = 2 , 3 , 4 , 5 i=2, 3, 4, 5 i=2,3,4,5；
( x 2 − x 1 ) ( x 3 − x 1 ) ( x 4 − x 1 ) ( x 5 − x 1 ) (x_2-x_1)(x_3-x_1)(x_4-x_1)(x_5-x_1) (x2−x1)(x3−x1)(x4−x1)(x5−x1)
当 j = 2 j=2 j=2时， i = 3 , 4 , 5 i=3, 4, 5 i=3,4,5；
( x 3 − x 2 ) ( x 4 − x 2 ) ( x 5 − x 2 ) (x_3-x_2)(x_4-x_2)(x_5-x_2) (x3−x2)(x4−x2)(x5−x2)
当 j = 3 j=3 j=3时， i = 4 , 5 i=4, 5 i=4,5；
( x 4 − x 3 ) ( x 5 − x 3 ) (x_4-x_3)(x_5-x_3) (x4−x3)(x5−x3)
当 j = 4 j=4 j=4时， i = 5 i=5 i=5：
( x 5 − x 4 ) (x_5-x_4) (x5−x4)
故行列式 D D D的值为：
D = ( x 2 − x 1 ) ( x 3 − x 1 ) ( x 4 − x 1 ) ( x 5 − x 1 ) ( x 3 − x 2 ) ( x 4 − x 2 ) ( x 5 − x 2 ) ( x 4 − x 3 ) ( x 5 − x 3 ) ( x 5 − x 4 ) D=(x_2-x_1)(x_3-x_1)(x_4-x_1)(x_5-x_1)(x_3-x_2)(x_4-x_2)(x_5-x_2)(x_4-x_3)(x_5-x_3)(x_5-x_4) D=(x2−x1)(x3−x1)(x4−x1)(x5−x1)(x3−x2)(x4−x2)(x5−x2)(x4−x3)(x5−x3)(x5−x4)
举例2：
求以下范德蒙德行列式的值：
∣ 1 1 1 1 1 1 2 − 1 3 6 9 − 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ∣ \begin{vmatrix} 1&1&1&1&1&1\\ 2&-1&3&6&9&-5\\ ...&...&...&...&...&...\\ ...&...&...&...&...&...\\ ...&...&...&...&...&...\\ ...&...&...&...&...&...\\ \end{vmatrix} ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣12............1−1............13............16............19............1−5............∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
解：根据例1同理可知：
当 j = 1 j=1 j=1时， i = 2 , 3 , 4 , 5 , 6 i=2, 3, 4, 5, 6 i=2,3,4,5,6；
当 j = 2 j=2 j=2时， i = 3 , 4 , 5 , 6 i=3, 4, 5, 6 i=3,4,5,6；
当 j = 3 j=3 j=3时， i = 4 , 5 , 6 i=4, 5, 6 i=4,5,6；
当 j = 4 j=4 j=4时， i = 5 , 6 i=5, 6 i=5,6；
当 j = 5 j=5 j=5时， i = 6 i=6 i=6；
故上述行列式的值为：
= ( − 1 − 2 ) ( 3 − 2 ) ( 6 − 2 ) ( 9 − 2 ) ( − 5 − 2 ) =(-1-2)(3-2)(6-2)(9-2)(-5-2) =(−1−2)(3−2)(6−2)(9−2)(−5−2)
( 3 + 1 ) ( 6 + 1 ) ( 9 + 1 ) ( − 5 + 1 ) (3+1)(6+1)(9+1)(-5+1) (3+1)(6+1)(9+1)(−5+1)
( 6 − 3 ) ( 9 − 3 ) ( − 5 − 3 ) (6-3)(9-3)(-5-3) (6−3)(9−3)(−5−3)
( 9 − 6 ) ( − 5 − 6 ) (9-6)(-5-6) (9−6)(−5−6)
( − 5 − 9 ) (-5-9) (−5−9)
举例3：
求以下范德蒙德行列式的值：
∣ 1 1 1 1 a b c d . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ∣ \begin{vmatrix} 1&1&1&1\\ a&b&c&d\\ ...&...&...&...\\ ...&...&...&...\\ \end{vmatrix} ∣∣∣∣∣∣∣∣1a......1b......1c......1d......∣∣∣∣∣∣∣∣
解：同理可得：
= ( b − a ) ( c − a ) ( d − a ) ( c − b ) ( d − b ) ( d − c ) =(b-a)(c-a)(d-a)(c-b)(d-b)(d-c) =(b−a)(c−a)(d−a)(c−b)(d−b)(d−c)
2.2 范德蒙德行列式证明
使用归纳假设法证明范德蒙德行列式公式，对于二阶范德蒙德行列式：
∣ 1 1 x 1 x 2 ∣ = x 2 − x 1 \begin{vmatrix} 1&1\\ x_1&x_2\\ \end{vmatrix}=x_2-x_1 ∣∣∣∣1x11x2∣∣∣∣=x2−x1
假设 n − 1 n-1 n−1阶范德蒙德行列式成立，即：
∣ 1 1 1 ⋯ 1 x 1 x 2 x 3 ⋯ x n − 1 ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ x 1 n − 3 x 2 n − 3 x 3 n − 3 ⋯ x n − 1 n − 3 x 1 n − 2 x 2 n − 2 x 3 n − 2 ⋯ x n − 1 n − 2 ∣ n − 1 = ∏ 1 ≤ j < i ≤ n − 1 ( x i − x j ) \begin{vmatrix} 1&1&1&{\cdots}&1\\ x_1&x_2&x_3&{\cdots}&x_{n-1}\\ {\vdots}&{\vdots}&{\vdots}&{\ddots}&{\vdots}\\ x_1^{n-3}&x_2^{n-3}&x_3^{n-3}&{\cdots}&x_{n-1}^{n-3}\\ x_1^{n-2}&x_2^{n-2}&x_3^{n-2}&{\cdots}&x_{n-1}^{n-2}\\ \end{vmatrix}_{n-1}=\prod_{1≤j
则 n n n阶范德蒙德行列式：
∣ 1 1 1 ⋯ 1 x 1 x 2 x 3 ⋯ x n ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ x 1 n − 2 x 2 n − 2 x 3 n − 2 ⋯ x n n − 2 x 1 n − 1 x 2 n − 1 x 3 n − 1 ⋯ x n n − 1 ∣ n \begin{vmatrix} 1&1&1&{\cdots}&1\\ x_1&x_2&x_3&{\cdots}&x_n\\ {\vdots}&{\vdots}&{\vdots}&{\ddots}&{\vdots}\\ x_1^{n-2}&x_2^{n-2}&x_3^{n-2}&{\cdots}&x_n^{n-2}\\ x_1^{n-1}&x_2^{n-1}&x_3^{n-1}&{\cdots}&x_n^{n-1}\\ \end{vmatrix}_n ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣1x1⋮x1n−2x1n−11x2⋮x2n−2x2n−11x3⋮x3n−2x3n−1⋯⋯⋱⋯⋯1xn⋮xnn−2xnn−1∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣n
将第 n − 1 n-1 n−1行 × ( − x 1 ) ×(-x_1) ×(−x1)加到第 n n n行：
= ∣ 1 1 1 ⋯ 1 x 1 x 2 x 3 ⋯ x n ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ x 1 n − 2 x 2 n − 2 x 3 n − 2 ⋯ x n n − 2 0 x 2 n − 1 − x 2 n − 2 x 1 x 3 n − 1 − x 3 n − 2 x 1 ⋯ x n n − 1 − x n n − 2 x 1 ∣ n =\begin{vmatrix} 1&1&1&{\cdots}&1\\ x_1&x_2&x_3&{\cdots}&x_n\\ {\vdots}&{\vdots}&{\vdots}&{\ddots}&{\vdots}\\ x_1^{n-2}&x_2^{n-2}&x_3^{n-2}&{\cdots}&x_n^{n-2}\\ 0&x_2^{n-1}-x_2^{n-2}x_1&x_3^{n-1}-x_3^{n-2}x_1&{\cdots}&x_n^{n-1}-x_n^{n-2}x_1\\ \end{vmatrix}_n =∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣1x1⋮x1n−201x2⋮x2n−2x2n−1−x2n−2x11x3⋮x3n−2x3n−1−x3n−2x1⋯⋯⋱⋯⋯1xn⋮xnn−2xnn−1−xnn−2x1∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣n
同理，依次将将第 n − 2 n-2 n−2行 × ( − x 1 ) ×(-x_1) ×(−x1)加到第 n − 1 n-1 n−1行，第 n − 3 n-3 n−3行 × ( − x 1 ) ×(-x_1) ×(−x1)加到第 n − 2 n-2 n−2行，…，第 1 1 1行 × ( − x 1 ) ×(-x_1) ×(−x1)加到第 2 2 2行：
= ∣ 1 1 1 ⋯ 1 0 x 2 − x 1 x 3 − x 1 ⋯ x n − x 1 ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 x 2 n − 2 − x 2 n − 3 x 1 x 3 n − 2 − x 3 n − 3 x 1 ⋯ x n n − 2 − x n n − 3 x 1 0 x 2 n − 1 − x 2 n − 2 x 1 x 3 n − 1 − x 3 n − 2 x 1 ⋯ x n n − 1 − x n n − 2 x 1 ∣ n =\begin{vmatrix} 1&1&1&{\cdots}&1\\ 0&x_2-x_1&x_3-x_1&{\cdots}&x_n-x_1\\ {\vdots}&{\vdots}&{\vdots}&{\ddots}&{\vdots}\\ 0&x_2^{n-2}-x_2^{n-3}x_1&x_3^{n-2}-x_3^{n-3}x_1&{\cdots}&x_n^{n-2}-x_n^{n-3}x_1\\ 0&x_2^{n-1}-x_2^{n-2}x_1&x_3^{n-1}-x_3^{n-2}x_1&{\cdots}&x_n^{n-1}-x_n^{n-2}x_1\\ \end{vmatrix}_n =∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣10⋮001x2−x1⋮x2n−2−x2n−3x1x2n−1−x2n−2x11x3−x1⋮x3n−2−x3n−3x1x3n−1−x3n−2x1⋯⋯⋱⋯⋯1xn−x1⋮xnn−2−xnn−3x1xnn−1−xnn−2x1∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣n
上述行列式按第1列展开可知，其值等于如 n − 1 n-1 n−1下阶行列式：
= ∣ x 2 − x 1 x 3 − x 1 ⋯ x n − x 1 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ x 2 n − 2 − x 2 n − 3 x 1 x 3 n − 2 − x 3 n − 3 x 1 ⋯ x n n − 2 − x n n − 3 x 1 x 2 n − 1 − x 2 n − 2 x 1 x 3 n − 1 − x 3 n − 2 x 1 ⋯ x n n − 1 − x n n − 2 x 1 ∣ n − 1 =\begin{vmatrix} x_2-x_1&x_3-x_1&{\cdots}&x_n-x_1\\ {\vdots}&{\vdots}&{\ddots}&{\vdots}\\ x_2^{n-2}-x_2^{n-3}x_1&x_3^{n-2}-x_3^{n-3}x_1&{\cdots}&x_n^{n-2}-x_n^{n-3}x_1\\ x_2^{n-1}-x_2^{n-2}x_1&x_3^{n-1}-x_3^{n-2}x_1&{\cdots}&x_n^{n-1}-x_n^{n-2}x_1\\ \end{vmatrix}_{n-1} =∣∣∣∣∣∣∣∣∣x2−x1⋮x2n−2−x2n−3x1x2n−1−x2n−2x1x3−x1⋮x3n−2−x3n−3x1x3n−1−x3n−2x1⋯⋱⋯⋯xn−x1⋮xnn−2−xnn−3x1xnn−1−xnn−2x1∣∣∣∣∣∣∣∣∣n−1
将第1列提取公因数 x 2 − x 1 x_2-x_1 x2−x1，第2列提取公因数 x 3 − x 1 x_3-x_1 x3−x1，…，第 n − 1 n-1 n−1列提取公因数 x n − x 1 x_n-x_1 xn−x1得：
= ∣ x 2 − x 1 x 3 − x 1 ⋯ x n − x 1 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ x 2 n − 3 ( x 2 − x 1 ) x 3 n − 3 ( x 3 − x 1 ) ⋯ x n n − 3 ( x n − x 1 ) x 2 n − 2 ( x 2 − x 1 ) x 3 n − 2 ( x 3 − x 1 ) ⋯ x n n − 2 ( x n − x 1 ) ∣ n − 1 =\begin{vmatrix} x_2-x_1&x_3-x_1&{\cdots}&x_n-x_1\\ {\vdots}&{\vdots}&{\ddots}&{\vdots}\\ x_2^{n-3}(x_2-x_1)&x_3^{n-3}(x_3-x_1)&{\cdots}&x_n^{n-3}(x_n-x_1)\\ x_2^{n-2}(x_2-x_1)&x_3^{n-2}(x_3-x_1)&{\cdots}&x_n^{n-2}(x_n-x_1)\\ \end{vmatrix}_{n-1} =∣∣∣∣∣∣∣∣∣x2−x1⋮x2n−3(x2−x1)x2n−2(x2−x1)x3−x1⋮x3n−3(x3−x1)x3n−2(x3−x1)⋯⋱⋯⋯xn−x1⋮xnn−3(xn−x1)xnn−2(xn−x1)∣∣∣∣∣∣∣∣∣n−1
= ( x 2 − x 1 ) ( x 3 − x 1 ) . . . ( x n − x 1 ) ∣ 1 1 ⋯ 1 x 2 x 3 ⋯ x n ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ x 2 n − 2 x 3 n − 2 ⋯ x n n − 2 ∣ n − 1 =(x_2-x_1)(x_3-x_1)...(x_n-x_1)\begin{vmatrix} 1&1&{\cdots}&1\\ x_2&x_3&{\cdots}&x_n\\ {\vdots}&{\vdots}&{\ddots}&{\vdots}\\ x_2^{n-2}&x_3^{n-2}&{\cdots}&x_n^{n-2}\\ \end{vmatrix}_{n-1} =(x2−x1)(x3−x1)...(xn−x1)∣∣∣∣∣∣∣∣∣1x2⋮x2n−21x3⋮x3n−2⋯⋯⋱⋯1xn⋮xnn−2∣∣∣∣∣∣∣∣∣n−1
根据假设可知，上述表达式右边是一个 n − 1 n-1 n−1阶的范德蒙德行列式，故：
= ( x 2 − x 1 ) ( x 3 − x 1 ) . . . ( x n − x 1 ) ∏ 2 ≤ j < i ≤ n ( x i − x j ) =(x_2-x_1)(x_3-x_1)...(x_n-x_1)\prod_{2≤j
观察发现，上述表达式左半部分为 j = 1 j=1 j=1的情况，右半部分是 j ∈ [ 2 , n ] j\in[2, n] j∈[2,n]的情况，所以：
= ∏ 1 ≤ j < i ≤ n ( x i − x j ) =\prod_{1≤j
原式得证。
2.3 比较隐秘的范德蒙德行列式
举例1：
∣ 1 1 1 1 1 − 1 2 3 1 1 4 9 1 − 1 8 27 ∣ \begin{vmatrix} 1&1&1&1\\ 1&-1&2&3\\ 1&1&4&9\\ 1&-1&8&27\\ \end{vmatrix} ∣∣∣∣∣∣∣∣11111−11−1124813927∣∣∣∣∣∣∣∣
= ∣ 1 1 1 1 1 − 1 2 3 1 2 ( − 1 ) 2 2 2 3 2 1 3 ( − 1 ) 3 2 3 3 3 ∣ =\begin{vmatrix} 1&1&1&1\\ 1&-1&2&3\\ 1^2&(-1)^2&2^2&3^2\\ 1^3&(-1)^3&2^3&3^3\\ \end{vmatrix} =∣∣∣∣∣∣∣∣1112131−1(−1)2(−1)3122223133233∣∣∣∣∣∣∣∣
举例2：
∣ 1 2 4 8 1 3 9 27 1 4 16 64 1 5 25 125 ∣ \begin{vmatrix} 1&2&4&8\\ 1&3&9&27\\ 1&4&16&64\\ 1&5&25&125\\ \end{vmatrix} ∣∣∣∣∣∣∣∣1111234549162582764125∣∣∣∣∣∣∣∣
根据行列式转置值不变的性质：
= ∣ 1 1 1 1 2 3 4 5 4 9 16 25 8 27 64 125 ∣ =\begin{vmatrix} 1&1&1&1\\ 2&3&4&5\\ 4&9&16&25\\ 8&27&64&125\\ \end{vmatrix} =∣∣∣∣∣∣∣∣1248139271416641525125∣∣∣∣∣∣∣∣
= ∣ 1 1 1 1 2 3 4 5 2 2 3 2 4 2 5 2 2 3 3 3 4 3 5 3 ∣ =\begin{vmatrix} 1&1&1&1\\ 2&3&4&5\\ 2^2&3^2&4^2&5^2\\ 2^3&3^3&4^3&5^3\\ \end{vmatrix} =∣∣∣∣∣∣∣∣122223133233144243155253∣∣∣∣∣∣∣∣
3 反对称行列式
例8：
∣ 0 1 2 3 − 1 0 − 5 6 − 2 5 0 − 8 − 3 − 6 8 0 ∣ \begin{vmatrix} 0&1&2&3\\ -1&0&-5&6\\ -2&5&0&-8\\ -3&-6&8&0\\ \end{vmatrix} ∣∣∣∣∣∣∣∣0−1−2−3105−62−50836−80∣∣∣∣∣∣∣∣
① 主对角线全为0；
② 上下位置对应成相反数。
反对称行列式的定义为： a i j = − a j i a_{ij}=-a_{ji} aij=−aji，对于对角线上的元素： a i i = − a i i a_{ii}=-a_{ii} aii=−aii，推出： 2 a i i = 0 2a_{ii}=0 2aii=0，即： a i i = 0 a_{ii}=0 aii=0。
对于奇数阶反对称行列的值等于零。
举例：
D = ∣ 0 a b − a 0 c − c − c 0 ∣ D=\begin{vmatrix} 0&a&b\\ -a&0&c\\ -c&-c&0\\ \end{vmatrix} D=∣∣∣∣∣∣0−a−ca0−cbc0∣∣∣∣∣∣
分别从第1行、第2行和第3行提取公因子-1：
D = ( − 1 ) 3 ∣ 0 − a − b a 0 − c c c 0 ∣ D=(-1)^3\begin{vmatrix} 0&-a&-b\\ a&0&-c\\ c&c&0\\ \end{vmatrix} D=(−1)3∣∣∣∣∣∣0ac−a0c−b−c0∣∣∣∣∣∣
不难看出，右边的行列式相当于行列式 D D D作了转置，即：
D = − D T D=-D^T D=−DT
又因为行列式转置值不变，所以：
D = − D D=-D D=−D
2 D = 0 2D=0 2D=0
D = 0 D=0 D=0
4 对称行列式
∣ 0 1 − 1 1 2 0 − 1 0 3 ∣ \begin{vmatrix} 0&1&-1\\ 1&2&0\\ -1&0&3\\ \end{vmatrix} ∣∣∣∣∣∣01−1120−103∣∣∣∣∣∣
以主对角线为轴，上下位置对应相等。
① 主对角线元素没有要求；
② 上下位置对应相等。
对称行列式的定义为： a i j = a j i a_{ij}=a_{ji} aij=aji，对于对角线上的元素： a i i = a i i a_{ii}=a_{ii} aii=aii。
5 引用
《线性代数》高清教学视频 “惊叹号”系列 宋浩老师_哔哩哔哩 (゜-゜)つロ 干杯~-bilibili_1.4 行列式的计算（二）