什么是二阶行列式？

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二阶行列式，用于快速解二元线性方程组。例如，下面这个二元线性方程组：

对于此方程组，在未学行列式之前，解方程组最常用的方法就是消元法。具体步骤为：

 

为了消去一个未知数，可以给第一个式子左右统一乘上 a22，同时也给第二个式子统一乘上 a12.，此时方程组变为：

此时可见，两式子中的 x2 的系数相同，此时可用第一个式子减去第二个式子，就可消去 x2 ，二元线性方程组就变为了一元一次线性方程，如下所示：

（a22a11 - a12a21)x1=a22b1 - a12b2

此时就可以求出 x1（同理，也可以求出 x2），当 a22a11 - a12a21 ≠ 0 时，方程组的解为：

对于二元线性方程组的两个值，我们可以直接二阶行列式来表示，表示方法是：

首先，两个值的分母是相同的，都是 a11a22 - a12a21 ，此式子由方程组 x 的 4 个系数组成的，当我们把这 4 个系数按照它们在方程组中的问题提取出来时（4个系数的相对位置不变），排列成 2 行 2 列，如下所示：

在此基础上，给其左右各添加一条竖线，如下图所示；

这就是用于表示 a11a22 - a12a21 这个式子的二阶行列式。其行列式中的每个数字称为行列式的元素或者元。

对于行列式中的每个 aij 来说，下标 i 表示为行标，表示该元素位于行列式的第 i 行；同理，下标 j 表示为列标，表示该元素位于行列式中的第 j 列。

那么，图 2 中的行列式是如何等价于 a11a22 - a12a21 这个式子的呢？

其实，每个行列式都唯一对应一个式子，如果我们想将一个行列式转换成普通式子，就需要使用对角线法则来实现。

拿上方的二阶行列式为例，有两条对角线，一条为从 a11 到 a22 的对角线，另一条为从 a21 到 a12的对角线，如下图所示：

如上图所示，二阶行列式中的实线称为主对角线，虚线称为副对角线，二阶行列式转换成普通式子，即将主对角线上的元素之积减去副对角线上的元素之积，二阶行列式的值也就是式子最终得到的差。

分子转为行列式

通过以上的分析，我们实现了将二元线性方程组两个解的分母用二阶行列式表示，接下来，我们要将分子也用行列式来表示。

利用分母转化为二阶行列式的方法，我们将  x1 的分子 a22b1 - a12b2 转化为行列式的过程为：

1、由于式子中涉及到了 4 个系数（b1  和 b2 可看做指数为 0 的 x 的系数），我们将这 4 个系数按照在方程组中的位置提取出来，然后左右各添加一条竖线，如下图所示：

根据对角线法则可以断定，此行列式就等于 a22b1 - a12b2 。同理，x2  的分子 a11b2 - a21b1 用行列式表示为：

提示：两个分子的行列式其实都和方程组等号右侧的值有关，只不过一个解是用这两个值取代分母行列式的第一列，另一个解是取代分母行列式的第二列。

例题实战

求解二元线性方程组：

解题过程：

采用二阶行列式表示两个解，首先判断两个解的分母是否为0（0不能作为分数的分母），由于：

此值不为0，所以可以用二阶行列式的方式求解。该二元线性方程组的解为：