数据结构19————图的定义和基本概念

数据结构19————图的定义和基本概念

一.内容:

1. 图的定义
2. 各种图的相关概念
3. 图的ADT

二.图的定义

1.形式化定义

图(Graph)是由顶点的有穷非空集合和顶点直接边的集合组成,通常表示为G(V,E)，其中G表示一个图,V是图G中顶点的集合,E是图G中的边的集合

• 图中的数据元素，我们称为顶点
• 图不存在空集，图中不允许没有顶点
• 任何两个顶点之间都可能有关系,顶点之间的逻辑关系用边表示

三.图的相关概念

1.各种图定义

• 无向边:若顶点vi到vj之间没有方向,则称这条边为无向边，有无序偶对(vi,vj)来表示。
• 无向图:如果图中任意两个顶点之间的边都是无向边，则称该图为无向图
• 有向边:若从顶点vi到vj的边有方向为有向边，也称为弧,用 有序偶< vi, vj> 来表示，vi称为弧尾，vj称为弧头。
• 有向图:如果图中任意两个顶点之间的边都是有向边，则称该图为有向图。
• 简单图:在图中,如果不存在顶点到其自身的边，且同一条边不重复出现，则称这样的图为简单图。
• 无向完全图:在无向图，如果任意两个顶点之间都有存在边，则称该图为无向完全图。
• 有向完全图:在有向图中，如果任意两个顶点之间都存在互为相反的弧，则称该图为有向完全图
• 稀疏图&稠密图:有很少的边或弧的图称为稀疏图，反之称为稠密图
• 权:有些图的边或者弧具有与他相关的数字，这个相关的数称为权
• 网:这种带权的图通常称为网

2.图的顶点和边间关系

• 对于无向图G=(V,{E}),如果边(v1,v2)∈E , 则称顶点v1和v2互为邻接，即v1，v2相邻接。边(v1,v2)依附于顶点v1和v2，或者说(v1,v2)于顶点v1,v2相关联。顶点v的度为是和v相关联的边的数目，记做TD(v)
• 对于有向图G=(V,{E})，如果弧< v1,v2>∈E，则称顶点v1邻接到顶点v2，顶点v2邻接自顶点v1.弧< v1,v2>和顶点v1，v2相关联，自顶点v1为头的弧的数目为v1的入度，记为ID(v)，以v1为弧尾的弧的数目称为v1的出度,记为OD(v),顶点v的度TD(v)=ID(v)+OD(v).
• 路径:无向图G(V,{E})中从顶点v1到顶点v2的路径是从v1到v2途经顶点的序列
• 路径的长度:路径上的边或者弧的数目
• 回路(环):第一个顶点到最后一个顶点相同的路径称为回路或者环
• 简单路径:序列中顶点不重复出现的路径称为简单路径
• 简单回路(环):除了第一个顶点和最后一个顶点外,其余顶点不重复出现的回路，称为简单回路或者简单环

3连通图相关术语

• 连通: 在无向图G中，如果从顶点v1到顶点v2有路径，则称v1和v2是连通的
• 连通图:如果对于无向图中任意两个顶点vi，vj，vi和vj都是连通的，则称该图是连通图
• 连通分量:无向图中的极大连通子图称为连通分量。
• 强连通图:在有向图中，任如果意两个顶点vi，vj，vi和vj都是连通的，则称该图是强连通图
• 强连通分量:有向图中的极大强连通子图称作有向图的强连通分量

四.图的ADT

ADT Graph{  

     数据对象V：V是具有相同特性的数据元素的集合，称为顶点集。  

         数据关系R：R={VR}  

     VR={|v,w∈V且P(v,w)，表示从v到w的弧，  

         谓词P(v,w)定义了弧的意义或信息}  

     基本操作：  

     CreateGraph( &G, V, VR )  

     初始条件：V是图的顶点集，VR是图中弧的集合。  

     操作结果：按V和VR的定义构造图G。  

     DestroyGraph( &G )  

     初始条件：图G存在。  

     操作结果：销毁图G。  

     LocateVex( G, u )  

     初始条件：图G存在，u和G中顶点有相同特征。  

     操作结果：若G中存在顶点u，则返回该顶点在图中位置；否则返回其它信息。  

     GetVex( G, v )  

     初始条件：图G存在，v是G中某个顶点。  

     操作结果：返回v的值。  

     PutVex( &G, v, value )  

     初始条件：图G存在，v是G中某个顶点。  

     操作结果：对v赋值value。  

     FirstAdjVex( G, v )  

     初始条件：图G存在，v是G中某个顶点。  

     操作结果：返回v的第一个邻接顶点。若顶点在G中没有邻接顶点，则返回“空”。  

     NextAdjVex( G, v, w )  
   
     初始条件：图G存在，v是G中某个顶点，w是v的邻接顶点。  

     操作结果：返回v的（相对于w的）下一个邻接顶点。若w是v的最后一个邻接点，则返回“空”。  

     InsertVex( &G, v )  

     初始条件：图G存在，v和图中顶点有相同特征。  

     操作结果：在图G中增添新顶点v。  

     DeleteVex( &G, v )  

     初始条件：图G存在，v是G中某个顶点。  

     操作结果：删除G中顶点v及其相关的弧。  

     InsertArc( &G, v, w )  

     初始条件：图G存在，v和w是G中两个顶点。  

     操作结果：在G中增添弧，若G是无向的，则还增添对称弧。  

     DeleteArc( &G, v, w )  

     初始条件：图G存在，v和w是G中两个顶点。  

     操作结果：在G中删除弧，若G是无向的，则还删除对称弧。  

     DFSTraverse( G, Visit() )  

     初始条件：图G存在，Visit是顶点的应用函数。  

     操作结果：对图进行深度优先遍历。在遍历过程中对每个顶点调用函数Visit一次且仅一次。一旦visit()失败，则操作失败。  

     BFSTraverse( G, Visit() )  

     初始条件：图G存在，Visit是顶点的应用函数。  

     操作结果：对图进行广度优先遍历。在遍历过程中对每个顶点调用函数Visit一次且仅一次。一旦visit()失败，则操作失败。   
     
         
         
}ADT Graph 

图的存储以及相关算法见后续的博客

五.参考资料

《大话数据结构》
《数据结构与算法》