蓝桥杯试题 算法提高 欧拉函数[数论]

蓝桥杯试题 算法提高 欧拉函数[数论]
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问题描述
　　老师出了一道难题，小酱不会做，请你编个程序帮帮他，奖金一瓶酱油：
　　从1—n中有多少个数与n互质?
　　|||||╭══╮ ┌═════┐
　　╭╯让路║═║酱油专用车║
　　╰⊙═⊙╯ └══⊙═⊙═(坑爹的题面格式化，害得我用‘|’来代替空格，复制到记事本上看就变成正版的了)
输入格式
　　输入共一行，表示一个整数n。
输出格式
　　输出共一行，表示从1—n中与n互质的数的个数。
样例输入

30

样例输出

8

数据规模和约定
　　60%的数据≤10^6
　　100%的数据≤2*10^9
题解：
这题就是求欧拉函数的值。什么是欧拉函数呢？
上百度百科：在数论，对正整数n，欧拉函数是小于或等于n的正整数中与n互质的数的数目（因此φ(1)=1）。
对于欧拉函数我们只需要知道：

就能求解这题了，想要了解更多请点击：浅谈欧拉函数

所以现在我们要把n的每一个素因子弄出来就可以了！然后通过公式求解出欧拉函数的值。
这个过程的我想大家还需要了解一个唯一分解定理：任何一个正整数都可以素因子分解为n = p1 ^e1 * p2^e2 * … * pr^er; （其中pr是< n 的素数因子）。[想要进一步了解唯一分解定理请点击求一个数n的因子数和n^2因子数[数论] ]

通过唯一分解定理就能求出n的所有素因子pi了，然后就可以通过公式计算出欧拉函数的值了。

上代码（有比较全面的注释）：

#include
#include
#define ll long long int
using namespace std;
void ol(int n)
{
	ll ans=n; 
	for(int i=2;i*i<=n;i++){//素因子分解求素因子 
		if(n%i==0)//第一个能整除n的i一定是素数
		{
			ans=ans/i*(i-1);//欧拉公式 
			while(n%i==0)//素因子分解
			n/=i; //出去素因子i的k次幂 
		}
		if(n==1) break;//分解完毕 
	}
	if(n!=1)//n本身就是一个素数，故无法分解 
	{
		ans=ans/n*(n-1);
	}
	printf("%lld\n",ans);
	return;
}//如果是多测试用例就先使用埃氏筛预处理出素数表，然后再对n进行素因子分解，求出素因子 
int main(void)
{
	int n;
	scanf("%d",&n);
	ol(n);
	return 0;
}