递推问题（JS）：for循环中变量取值以及循环次数确定

正向递推：

问题：一球从100米高度自由落下，每次落地后反跳回原高度的一半；再落下，求它在第10次落地时，共经过多少米？

分析：首先题目让求出小球第十次落地一共经过多少米，当然我们可以把这个过程拆解成：求出小球每次落地时经过的距离并相加得出答案（why?因为小球运动轨迹有规律可循），先用数学思想推出其中的规律：

设：小球第一次落地经过距离为f1,第二次为f2.....f10

f1	100
f2	100
f3	50	f2/2
f4	25	f3/2
...	...
f10		f9/2
fn		f(n-1)/2

由题意和表格分析得出本题为一个正向递推问题，给了初始值和规律依次可以推出下一个所需要的值。

递推问题最重要的是要找出相邻两项之前的规律，当然这道题规律已经表述很清晰---每次落地后反跳回原高度的一半：f(n-1)/2

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可能你会有疑问第一次落地和第二次落地的距离为什么不遵循这个规律？由题目可以知道小球第一次落地是一个单向下落的运动，之后小球落地的轨迹就是弹起再落地的双向运动，所以f1并不符合我们推出来的规律。

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最后我们只需要利用循环累加10次的距离即可求得答案。即：f1+ ( f2+f3+f4+f5+f6+f7+f8+f9+f10)=Answer

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 因为f1不参与循环，且f2到f10都要进入循环执行累加操作，所以循环次数是9次，i=2;i<=10

反向递推：

问题：猴子第一天摘下若干个桃子，当即吃了一半，还不瘾，又多吃了一个 第二天早上又将剩下的桃子吃掉一半，又多吃了一个。以后每天早上都吃了前一天剩下 的一半零一个。到第10天早上想再吃时，见只剩下一个桃子了。求第一天共摘了多少？

分析：这道题目也为一个递推问题，与上一题不同的是，这个问题是知道末尾值，而上一个小球问题是知道初始值，人们都习惯正向推理那我们该怎么办呢？

设：f为第几天吃完剩余的桃子。因为猴子第一天就已经吃过了，所以f1不是表示桃子总数而是第一天吃完剩余的桃子数，f0才是我们要求的总桃子数

f0	?
f1	f0/2-1
f2	f1/2-1
f3	f2/2-1
...	...
f9	1
fn	f(n-1)/2-1

由上表我们已经推出了相应的规律，因为我们要求的是f0,所以我们让规律变得好看些：

fn	f(n-1)/2-1
f(n-1)	2*(fn+1)
f9	1
f8	2*(f9+1)=4
f7	2*(f8+1)=10
...	...
f0	?

相信经过这个表格的转换思路瞬间就清晰许多，似乎又成了正向递推了

我们这个题目与小球问题略有不同，这道题就是简单的利用规律循环递推出下一个值，比如f9进循环后出来的是f8的值，f8进循环后出来的是f7的值，而f0是f1进循环后所得出的值，由此看来，需要循环九次才能救出f0的答案，即循环范围8>=i>=0；

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而我们的小球问题不是求出f10的值，而是要把f10的值进入循环并累加，所以f2-f10都要进入循环也就是：循环次数为9次

 

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