最大流



▶　问题 

在一个有向图里，每个路径都有最大容量，通过这个图最多能运输多少货物。默认容量非负，且不能同时存在边（u，v）和（v，u）。 

▶　基本思路 

维护一个流网络，初始化为0，不断增加流的值。 

维护一个残存网络（存储分配流后每条边剩余的容量），初始为最大容量。（在以下代码中，没有特别开一个数组存储残存网络，而是通过原容量减去流网络得到残存网络） 

通过在残存网络里寻找增广路径（残存网络中从一条从源结点s到汇结点t的简单路径），并且根据这条路径的残存容量（能够为每条边增加的流量的最大值，也就是这条路径经过边的最小容量）来更新残存网络和流网络（在流网络里加上这个值，在残存网络里减去这个值），直到在残存网络中找不到增广路径为止。 

在找不到增广路径时，流达到了稳定状态，也就是横跨任何切割的净流量相同，这个净割线的边流量的和为净流量，注意正向相加，反向相减） 

▶　代码实现 

·基本变量 

　　int cap[MAX][MAX];  //记录每条路径的最大容量

　　int flow[MAX][MAX];  //记录当前的流网络

　　int a[MAX];    //记录当前路径的残存容量（最终的残余容量存储在a[t]中）

int path[MAX];   //路径压缩

int ans=0;    //存储最大流 

memset(cap,0,sizeof(cap));

memset(flow,0,sizeof(flow));

s代表源结点下标，t代表汇结点下标 

　　以下过程循环进行，直到残存网络不包括任何增广路径：

·循环结束条件

 

a[t]==0 ，其中t代表汇结点，残余容量仍旧是初始值0，说明残余容量数据没有更新到汇结点处，也就说明找不到增广路径。 

if(a[t]==0) break;

 

·循环具体步骤

 

①利用宽度优先搜索，在残存网络里找到一条增广路径。 

queueq;  //全局变量，bfs使用 

memset(a,0,sizeof(a));  

a[s]=INF;   // 第3,4行操作对象是源结点，s代表源结点的下标值

q.push(s);

while( !q.empty() ){

    u=q.front();q.pop();

    for(v=0;v

    if( !a[v] && cap[u][v]>flow[u][v]){

    path[v] = u;

q.push(v);

a[v] = min(a[u],cap[u][v]-flow[u][v]); 

        }

    }

} 

②更新流网络 

for(u=t;u!=s;u=path[u]){

    flow[path[u]][u]+=a[t];

    flow[u][path[u]]-=a[t];

}

③用当前路径残存容量更新最大流 

ans+=a[t];

  

▶　示例 

　　橙色路径为当前的增广路径，图里显示的是残存网络

第一轮循环：

残存容量：12，ans = 12；

第二轮循环：

残存容量：4，ans = 16；

第三轮循环：

残存容量：7，ans = 23；

 

找不到增广路径

最终最大流为23。

 

此时的稳定流网络：

 

检测各个切割：

   

   净流量12+11 = 23                                         净流量 12+7+4 = 23

 

     

　　　净流量11+19-7 = 23                                     净流量19+4 = 23

 

 

▶　具有多个源结点和汇点的网络

 

构造一个超级源结点和超级源汇点，让超级源结点指向所有源结点，添加一条容量为正无穷的有向边；让所有源汇点指向超级源汇点，添加一条容量为正无穷的有向边。

其余和普通最大流问题解决方法相同。

 

 

*《算法导论》中给出了存在反平行边的处理办法

*这里未引入反向边的概念，《算法导论》中的反向边就是这里的流网络。