数据结构 迪杰斯特拉算法基础+模板

Dijkstra算法用来解决单源最短路径问题,即给定图G和起点s,通过算法就可以得到S到达其他每个顶点的最短路径。

比如下面这张图中,求得了某个结点到达其他各个结点的最短路径

算法的具体步骤如下:

我们定义带权图G所有顶点的集合为V,接着我们再定义已确定最短路径的顶点集合为U,初始化集合U为空。然后执行下面操作

1.首先我们将起点x加入集合U,并在数组A中记录起点x到各个点的最短路径(如果顶点到起点x有直接相连的边,则最短路径为边权值,否则为一个极大值),并设置起点被访问

2.从数组A中选择一个距离起点x最近的未被访问的结点v该节点不属于集合U(如果存在多个这样的点,任选一个即可。将顶点v加入集合u,并更新所有与顶点v相连顶点的最短路径,设置该节点被访问。

3.重复第二部操作,直至集合U等于集合V(即所有顶点被访问)

为了能更好地理解这个算法,我们通过举例并一步一步地来模拟实现

 

   

首先我们将除起点外的所有结点距离设置为无穷大,起点位置距离设置为0

设置该节点被访问,然后开放这个结点到其他结点的边,根据边权更新路径

然后选出距离V0最近的那个结点(这里是V1),遍历到该节点,开放v1到其他结点的边

然后进行比较:如果V1的距离+边权比V1连接的结点的距离更小,那么更新那个点的距离为V1的距离+边权

比如下图中,V3原本的值是4,但V1的距离+边权=3,比V3的距离小,这时,更新V3的距离为3

重复上述操作,直到所有的结点都被访问为止,此时,每个结点的距离都是到V0的最短距离

算法模板如下:一般使用邻接矩阵实现

切记:

1.邻接矩阵,最短距离数组和bool数组一定要初始化

2.初始化最短距离数组后,起点位置的距离要先赋值为0(如果有别的点权,也要先赋值)

#include 
#include 
#include 
using namespace std;
const int MAXV = 201;
const int INF = 0x3fffffff;
//邻接矩阵版本
int n, m, s;
int G[MAXV][MAXV];
int d[MAXV];  //各个点到出发点的最短路径
bool Vis[MAXV] = { false };
//并查集输出最短路径
int f[MAXV];

void Dijkstra(int s) {   //起始点
	fill(d, d + MAXV, INF);
	d[s] = 0;  //不管什么情况一定要初始化
	for (int i = 0; i < n; ++i) {
		//寻找最小的点
		int u = -1, MIN = INF;
		for (int j = 0; j < n; ++j) {
			if (!Vis[j] && d[j] < MIN) {
				MIN = d[j];
				u = j;
			}
		}
		if (u == -1) return;   //所有边访问完成,算法完成,退出
		//更新每个结点的最小距离
		Vis[u] = true;  //设置本结点为访问结点
		for (int v = 0; v < n; ++v) {
			if (!Vis[v] && G[u][v] != INF && G[u][v] + d[u] < d[v]) {
				d[v] = G[u][v] + d[u];  //优化结点
				f[v] = u;  //并查集
			}
		}
	}
}
void getRoute(int e) { //如果要求路径的话,可以用并查集实现
	cout << e;
	if (f[e] != e) {
		cout << " ";
		getRoute(f[e]); 
	}
}
int main() {
	fill(G[0], G[0] + MAXV * MAXV, INF); //切记一定要赋初值
	int u, v, w;
	for (int i = 0; i < MAXV; ++i) {
		f[i] = i;  //并查集更新
	}
	scanf("%d %d %d", &n, &m, &s);
	for (int i = 0; i < m; ++i) {
		scanf("%d %d %d", &u, &v, &w);
		G[u][v] = w;
	}

	Dijkstra(s);  //起始点
	for (int i = 0; i < n; ++i) {
		printf("%d\n", d[i]);
		getRoute(i);
		cout << endl;
	}

	system("PAUSE");
	return 0;
}