熵、相对熵和交叉熵的区别与联系

一.信息量

信息奠基人香农（Shannon）认为“信息是用来消除随机不确定性的东西”，也就是说衡量信息量的大小就是看这个信息消除不确定性的程度。
“太阳从东边升起”，这条信息并没有减少不确定性，因为太阳肯定是从东边升起的，这是一句废话，信息量为0。
”2018年中国队成功进入世界杯“，从直觉上来看，这句话具有很大的信息量。因为中国队进入世界杯的不确定性因素很大，而这句话消除了进入世界杯的不确定性，所以按照定义，这句话的信息量很大。
根据上述可总结如下：信息量的大小与信息发生的概率成反比。概率越大，信息量越小。概率越小，信息量越大。
设某一事件发生的概率为P(x)，其信息量表示为：
$$I(x)=-log(P(x))$$
I(x)表示信息量，log表示以e为底的自然对数。

二.熵（信息熵）

信息熵用来表示所有信息量的期望。
期望是试验中每次可能结果的概率乘以其结果的总和，所以信息量的熵可表示为（这里的X是一个离散型随机变量）：

H(X)表示X变量的信息熵，xi表示X不同的取值，例如使用明天的天气概率来计算其信息熵：

$$H(X)=-(0.5\ast log(0.5)+0.2\ast log(0.2)+0.3\ast log(0.3))$$
对于0-1分布的问题，由于其结果只有是或不是，设某一件事情发生的概率为P(x)，则另一件事情发生的概率为1−P(x)，所以对于0-1分布的问题，计算熵的公式可以简化如下：

三.相对熵（KL散度）

如果对于同一个随机变量X有两个单独的概率分布P(x)和Q(x)，则我们可以使用KL散度来衡量这两个概率分布之间的差异。

在机器学习中，常常使用P(x)来表示样本的真实分布，Q(x)来表示模型所预测的分布，比如在一个三分类任务中（例如，猫狗马分类器），x1,x2,x3分别代表猫、狗、马，假设一张猫的图片真实分布P(X)=[1,0,0], 预测分布Q(X)=[0.7,0.2,0.1]，计算KL散度：

KL散度越小，表示P(x)与Q(x)的分布更加接近，可以通过反复训练Q(x)来使Q(x)的分布逼近P(x)。
相对熵KL散度具有非负性和不对称性。

四.交叉熵

交叉熵是信息论中的一个重要概念，主要用于度量两个概率分布间的差异性，首先将上述KL散度公式拆开：

前者H(p(x))表示信息熵，后者即为交叉熵，KL散度 = 交叉熵 - 信息熵
交叉熵公式表示为：

在机器学习训练网络时，输入数据与标签常常已经确定，那么真实概率分布P(x)也就确定下来了，所以信息熵H(X)在这里就是一个常量。
由于KL散度的值表示真实概率分布P(x)与预测概率分布Q(x)之间的差异，值越小表示预测的结果越好，所以需要最小化KL散度。
而交叉熵等于KL散度加上一个常量（信息熵），且公式相比KL散度更加容易计算，所以在机器学习中常常使用交叉熵损失函数来计算loss。

五.交叉熵在单分类问题中的应用

在线性回归问题中，常常使用MSE(Mean Squared Error)作为loss函数，而在分类问题中常常使用交叉熵作为loss函数。
例：假设输入一张狗的图片，标签与预测值如下：

损失函数：
$$loss=-(0\ast log(0.2)+1\ast log(0.7)+0\ast log(0.1))=0.36$$
一个batch的loss为(m为样本个数)：

注：交叉熵能够衡量同一个随机变量中的两个不同概率分布的差异程度，在机器学习中就表示为真实概率分布与预测概率分布之间的差异。交叉熵的值越小，模型预测效果就越好。交叉熵在分类问题中常常与softmax是标配，softmax将输出的结果进行处理，使其多个分类的预测值和为1，再通过交叉熵来计算损失。