【Spark 机器学习】K-means聚类算法（理论篇）

【Spark 机器学习】K-means聚类算法（理论篇）

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本博客是【Spark-Python-机器学习】系列的文章。

该系列的文章主要讲解【机器学习】的一些通用算法的原理，并且使用【Python+Spark】来实现。

文章通常分为上下篇（理论篇 与 实践篇）。

如需转载，请附上本文链接：http://blog.csdn.net/cyh_24/article/details/50444111

在机器学习、数据挖掘领域中，K-Means可以说是入门的最简单的算法了。它是一种无监督的基于距离的聚类算法，采用 距离 作为相似性的评价指标，即认为两个对象的距离越近，其相似度就越大。该算法认为簇cluster是由距离靠近的对象组成的，因此把得到紧凑且独立的簇作为最终目标。

K-Means 原理

K-Means 算法将包含 n 个样本的数据集 x 分成 k 个簇， μi 为第 i 簇的中心点（centroid）。K-Means算法的目标就是，选择 k 个centroids，使得类内样本点到其质心的距离平方和最小：

∑i=0nminμu∈C(||xj−μi||2)

上面的式子通常被看作是K-Means优劣的度量方式，不过它也存在一些不足之处：

1. 它假设 clusters 是 convex 并且 isotropic，但实际上并不一定。
2. 它不是一个标准化的度量指标：我们只知道值越低越好，当值为0 的时候达到最优。但是，在非常高的维度空间下，欧氏距离往往会变得膨胀（这就是所谓的“维数灾难”)。通常在使用K-Means算法之前，先用PCA算法降维，可以缓解这个问题，同时还能提高运行速率。

K-Means 步骤

标准的K-Means 算法又被称为Lloyd-Forgy算法，它使用了迭代优化的技术。按下面两个步骤交替进行：

• 分配：将每个观测分配到聚类中，使得组内平方和（WCSS）达到最小。
• 更新：计算得到上步得到聚类中每一聚类观测值的图心，作为新的均值点。

注：把 分配 步骤视为 期望 步骤，把 更新 步骤视为 最大化 步骤，可以看到，K-Means算法实际上是期望-最大化算法（EM）的一个变体。

通常来说，这个算法主要分成三个步骤：

1. 选择初始的簇中心点（最简单的就是随机选取）；
2. 每个样本计算它到各个中心点的距离，选取最小的距离，并将自己归为旗下；
3. 当所有样本均归完类后，计算每个簇的新的中心点（每个簇样本的均值）；
4. 重复(2)，直到迭代次数，或者新中心点与旧中心点距离小于阈值，算法结束。

初始化的方法

通常使用的初始化方式有：Forgy 和 Random Partition。
Forgy：是从数据集中随机选 k 个数据点将它们作为初始的centroids。
Random Partition：随机地为每一观测指定聚类，然后执行“更新(Update)”步骤，即计算随机分配的各聚类的图心，作为初始的均值点。

Forgy 倾向于将初始的中心点分散开来，而Random Partition 则把中心点都放到靠近数据集中心的地方。
在k-harmonic means 和 fuzzy k-means上，Random Partition 的变现更好；而在EM和标准的K-Means上，Forgy 是更好的选择。

图1、随机取了三个中心点，作为初始点；
图2、找到离各个中心点最近的数据归为一类；
图3、重新计算各个簇的中心点作为新的中心点；
图4、重复步骤2和3；

因为K-Means 是一种启发式的算法，因此，没有理论保证它能够收敛到全局最优，而结果很大程度上往往受初始中心点的影响（K-Means对初始点很敏感）。
因为算法迭代非常快，如果你怕陷入一个局部最优，一个很常用的解决方法是选不同的初始化跑好几次，然后取最好的centroids；

不过还有一种更糟糕的情况是K-Means收敛的非常慢：尤其是已经证明了，某些情况下的点集（甚至在2维空间中），会使得k-均值算法收敛的时间达到指数级 2Ω(n) 。
好在，实际情况下，这样的点集几乎不会出现：因此，k-均值算法的平滑运行时间是多项式时间的复杂度。

一些K-Means 不work的Case

下面举一些例子（K-Means会不work的情况）：

这种情况，如果是人来聚类的话，分分钟完成啊，但是看看 K-Means的效果：

简直差成渣了。。。

Cluster 大小不均匀：

上面这张图，各个cluster的密集程度相差很大，来看看K-Means的效果吧：

这里发生的事情就比上面的那个效果微妙了。K-Means的目标是最大程度的减少各个簇内的SSE（sum of squared errors）的总和，它会倾向于生成更大的簇。

K-Means 聚类是特殊的矩阵分解问题

我之前写过一篇文章，介绍：【K-Means 聚类是特殊的矩阵分解问题】。
有兴趣的朋友可以移步去看看：http://blog.csdn.net/cyh_24/article/details/50408884