平衡树学习笔记
FHQ Treap
前置芝士
BST的性质:
根节点左子树的值均小于等于根节点，右子树的值均大于根节点
例题
我们需要支持以下操作
split
inline void split(int now, int &x, int &y, int k){ //裂开
if(!now) return (void)(x = y = 0); //如果没有根即没有树可裂，x，y均为0
if(val[now] <= k){
x = now; //如果根的值小于等于k则k要大于now左子树所有的值，所以把左子树裂开，让右子树接着裂
split(ch[now][1], ch[x][1], y, k);
}else{
y = now; //相反
split(ch[now][0], x, ch[y][0], k);
}
up(now);
//裂开以后所有比k小的值均在x树上，比k大的值均在y树上
}
merge
inline void merge(int &now, int x, int y){
if(!siz[x] or !siz[y]) return (void)(now = siz[x] ? x : y); //x 和 y 有一个空树的话直接返回不空树
if(key[x] < key[y]){ //当x的键值小于y的键值 ，让y和x的右子树并
now = x;
merge(ch[now][1], ch[x][1], y);
up(now);
}else{
now = y;//相反
merge(ch[now][0], x, ch[y][0]);
up(now);
}
}
delete
如何删除一个数num，很巧妙的方法
1.我们把root树以num为关键字裂开，此时x树上的值均小于等于num
2.我们再去裂x树，此时以num-1为关键字，则裂开的两个树中有一个树上的值均等于 num（我们设这颗树为z）
3.直接合并z的左右子树，此时已经把z的根节点移除
4.合并
inline void del(int num){
split(root, x, y, num);
split(x, x, z, num-1);
merge(z, ch[z][0], ch[z][1]);
merge(x, x, z);
merge(root, x, y);
}
insert
很简单
inline void ins(int num){
split(root, x, y, num);
merge(x, x, new_node(num));
merge(root, x, y);
}
kth
寻找第k排名的数
（暂时还不透彻，会补上注释的....汗）
inline int kth(int now, int k){
while(1){
if(k <= siz[ch[now][0]]){
now = ch[now][0];
}else{
if(k == siz[ch[now][0]] + 1) return now;
else{
k -= siz[ch[now][0]] + 1;
now = ch[now][1];
}
}
}
}
rnk
num的排名就是所有小于num的数的数量+1，此时已经显然
inline int rnk(int num){
split(root, x, y, num-1);
int res = siz[x] + 1;
merge(root, x, y);
return res;
}
pre
前驱怎么找？
前驱是不是所有小于num的值里最大的值！
我们以num-1为关键字去把root树裂开，此时x树上的值是所有小于num的数，
我们再找x树里面排名为size[x]的数，是不是就是所有小于num的数里面最大的数？即前驱。
inline int pre(int num){ //找前驱
split(root, x, y, num-1);
int res = val[kth(x,siz[x])];
merge(root, x, y);
return res;
}
nxt
后继怎么找...
后继是不是所有大于num的值里最小的值.....
我们以num为关键字去把root树裂开，此时y树上的值是所有大于num的数，
我们再找y树里面排名为1的数，是不是就是所有大于num的数里面最小的数？即后继。
inline int nxt(int num){
split(root, x, y, num);
int res = val[kth(y,1)];
merge(root, x, y);
return res;
}
总代码看不看无所谓的吧，反正就是并在一起了....
code
#include
using namespace std;
const int maxn = 1e5 + 10;
struct Treap{
int ch[maxn][2], val[maxn], key[maxn], siz[maxn];
int sum, root, x, y, z, n; //sum记录节点编号
inline void up(int now){ //维护一下大小
siz[now] = siz[ch[now][0]] + siz[ch[now][1]] + 1; //它的大小就等于左右儿子大小的和+自己这个点
}
inline int new_node(int num){ //新建一个点
siz[++sum] = 1; //新建一个树(点)，但大小为1
val[sum] = num; //值为num
key[sum] = rand(); //随机
return sum; //返回节点编号
}
inline void split(int now, int &x, int &y, int k){
if(!now) return (void)(x = y = 0);
if(val[now] <= k){
x = now;
split(ch[now][1], ch[x][1], y, k);
}else{
y = now;
split(ch[now][0], x, ch[y][0], k);
}
up(now);
}
inline void merge(int &now, int x, int y){
if(!siz[x] or !siz[y]) return (void)(now = siz[x] ? x : y);
if(key[x] < key[y]){
now = x;
merge(ch[now][1], ch[x][1], y);
up(now);
}else{
now = y;
merge(ch[now][0], x, ch[y][0]);
up(now);
}
}
inline void del(int num){
split(root, x, y, num);
split(x, x, z, num-1);
merge(z, ch[z][0], ch[z][1]);
merge(x, x, z);
merge(root, x, y);
}
inline void ins(int num){
split(root, x, y, num);
merge(x, x, new_node(num));
merge(root, x, y);
}
inline int kth(int now, int k){
while(1){
if(k <= siz[ch[now][0]]){
now = ch[now][0];
}else{
if(k == siz[ch[now][0]] + 1) return now;
else{
k -= siz[ch[now][0]] + 1;
now = ch[now][1];
}
}
}
}
inline int rnk(int num){
split(root, x, y, num-1);
int res = siz[x] + 1;
merge(root, x, y);
return res;
}
inline int pre(int num){
split(root, x, y, num-1);
int res = val[kth(x,siz[x])];
merge(root, x, y);
return res;
}
inline int nxt(int num){
split(root, x, y, num);
int res = val[kth(y,1)];
merge(root, x, y);
return res;
}
void main(){
root = 0, x = y = z = 0;
scanf("%d", &n);
for(int i = 1, q, w; i <= n; i ++){
scanf("%d%d", &q, &w);
if(q == 1) ins(w);
if(q == 2) del(w);
if(q == 3) printf("%d\n", rnk(w));
if(q == 4) printf("%d\n", val[kth(root,w)]);
if(q == 5) printf("%d\n", pre(w));
if(q == 6) printf("%d\n", nxt(w));
}
}
}FHQ;
signed main(){
FHQ.main();
return 0;
}
Splay
wanqua