线性筛 + 埃式筛 (筛区间质数) - Prime Distance - POJ 2689

线性筛 + 埃式筛 (筛区间质数) - Prime Distance - POJ 2689

题意：

给定两个整数L和U，你需要在闭区间[L,U]内找到距离最接近的两个相邻质数C1和C2（即C2-C1是最小的），如果存在相同距离的其他相邻质数对，则输出第一对。

同时，你还需要找到距离最远的两个相邻质数D1和D2（即D1-D2是最大的），如果存在相同距离的其他相邻质数对，则输出第一对。

输入格式

每行输入两个整数L和U，其中L和U的差值不会超过1000000。

输出格式

对于每个L和U ，输出一个结果，结果占一行。

结果包括距离最近的相邻质数对和距离最远的相邻质数对。（具体格式参照样例）

如果L和U之间不存在质数对，则输出“There are no adjacent primes.”。

数据范围

$1\le L<U\le 2^{31}-1$

输入样例：

2 17
14 17

输出样例：

2,3 are closest, 7,11 are most distant.
There are no adjacent primes.

---

分析：

$要求区间[L,R]内，距离最近的两个相邻质数和距离最远的两个相邻质数。$

$思路上，先筛出这段区间内的质数，再遍历一遍求相邻质数差值的最值。$

难点：

$线性筛是筛[1,N]内的质数，L和R的范围将达到10^9，无论是从时间上还是空间上考虑均不合理。$

$但是，区间的长度不超过10^6，$

$对于每个合数X，都必存在一个最小质因子P，对应的还有另一个因子\frac{X}{P}，$

$而X的最小质因子P，必有P\le \sqrt{X}，$

$所以，我们可以先筛出\sqrt{R}以内的质数的P_i，再借助埃氏筛法的思想，筛去区间[L,R]内P_i的倍数。$

$由于质数的范围较大，可以将区间[L,R]内的质数先减去偏移量L，映射到区间[0,R-L]内，用布尔数组标记。$

细节：

$埃式筛法：对每一个质数P_i，筛去[L,R]内P_i的倍数。$

$如何计算出第一个大于等于L的P_i的倍数？$

$将P_i扩大\lceil \frac{L}{P_i}\rceil 倍，且至少两倍，$

$而\lceil \frac{L}{P_i}\rceil =\lfloor \frac{L+P_i-1}{P_i}\rfloor ，$

$故对于每一个P_i，从max(2P_i,\lfloor \frac{L+P_i-1}{P_i}\rfloor )开始，筛掉P_i的倍数。$

时间复杂度分析：

$线性筛：筛出\sqrt{R}以内的质数，R上限约为2.1\times 10^9，故我们筛出50000以内的质数即可。$

$埃式筛：筛出区间长度不超过10^6内的质数，计算次数为10^6(\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{5}+\frac{1}{7}+...)，时间复杂度O(nlog(logn))$

$当n=10^6时，log(logn)\approx 5，最终的时间复杂度是O(n)级别的。$

代码：

#include
#include
#include

#define ll long long

using namespace std;

const int N=1e6+10;

int primes[50000],cnt;
bool st[N];

void get_prime(int n,int L,int R)   //二次筛法，筛出[L,R]内的质数
{
    memset(st,false,sizeof st);
    cnt=0;
    
    for(int i=2;i<=n;i++)   //预处理出[2,50000]内的质数，50000是大于sqrt(R)上界的一个数
    {
        if(!st[i]) primes[cnt++]=i;
        for(int j=0;primes[j]*i<=n;j++)
        {
            st[primes[j]*i]=true;
            if(i%primes[j]==0) break;
        }
    }
    
    memset(st,false,sizeof st); 
    for(int i=0;i<cnt;i++)
    {
        ll p=primes[i];
        ll start=max(2*p, (L+p-1)/p*p);
        for(ll j=start;j<=R;j+=p)
            st[j-L]=true;
    }
    
    cnt=0;
    for(int i=0;i<=R-L;i++)
        if(!st[i] && i+L>=2)
            primes[cnt++]=i+L;
}

int main()
{
    int l,r;
    while(~scanf("%d%d",&l,&r))
    {
        get_prime(50000,l,r);
        
        if(cnt<2) puts("There are no adjacent primes.");
        else
        {
            int maxp=0,minp=0;
            int maxd=0,mind=1e6;
            for(int i=0;i+1<cnt;i++)
            {
                int d=primes[i+1]-primes[i];
                if(d>maxd) maxd=d, maxp=i;
                if(d<mind) mind=d, minp=i;
            }
            
            printf("%d,%d are closest, %d,%d are most distant.\n",
                    primes[minp],primes[minp+1],primes[maxp],primes[maxp+1]);
        }
    }
    return 0;
}