数据结构与算法——图

图的定义和术语

一、图的定义和术语

• 图（Graph）——图G是由两个集合V（G）和E（G）组成的。记为G=（V,E）

• 其中：V(G)是顶点的非空有限集

• E(G)是边的有限集合，边是顶点的无序对或有序对

• 权——与图的边或弧相关的树叫权

• 网）带权的图叫做网

• 子图——如果图G(V,E)和图G1(v1,E1),满足：
  
  

• 弧或边带权的图分别称为有向网或无向网
  

• 对无向图来讲，假若顶点v和顶点w之间存在一条边，则称顶点v和w互为邻接点，边(v,w)和顶点v和w相关联

• 顶点的度
  在无向图中，顶点的度为与每个顶点相连的边数
  有向图中，顶点的度分为入度和出度
  入度：以该顶点为头的弧的数目
  出度：以该顶点为尾的弧的数目
  
  

• 路径——路径是顶点的序列，顶点V到顶点V’的路径{V=Vi,0,Vi,1,……Vi,n=V’}，

• 其中属于E,(1

• 路径长度—— 路径上的边或弧的数目

• 回路——第一个顶点和最后一个顶点相同的路径

• 简单路径——序列中的顶点不重复出现的路径

• 简单回路——除了第一个顶点和最后一个顶点外，其余顶点不重复出现的回路
  
  

• 连通——从顶点V到顶点W有一条路径，则说V和W是连通的

• 连通图——图中任意两个顶点都是连通的

• 连通分量——非连通图的每一个连通部分

• 强连通图——有向图中，如果对每一对Vi,Vj属于V，Vi不等于Vj.从Vi到Vj和从Vj到Vi都存在路径，则称G是强连通图

• 强连通分量——有向图中的极大连通子图
  
  
  例：
  

• 假设设一个连通图有n 个顶点和e 条边，其中 n-1 条边和n 个顶点构成一个极小连通子图， 称该极小连通子图为此连通图的生成树

• 对非连通图，则称由各个连通分量的生成树 的集合为此非连通图的生成森林

有向图

• 有向图——有向图G是由两个集合V（G)和E（G）组成的
• 其中：V(G)是顶点的非空有限集
• E(G)是有向边（也称弧）的有限集合，弧是顶点的有序对，记为,vw是顶点，v是弧尾w是弧头

由于"弧“是有方向的，因此称有顶点集和弧集构成的图称为有向图

• 对有向图来说
  顶点的出度：以顶点v为弧尾的弧的数目
  顶点的入度：以顶点v为弧头的弧的数目
  
  例如：
  

无向图

• 无向图——无向图G是由两个集合V(G)和E(G)组成的
• 其中：V(G)是顶点的非空有限集
• E(G)是边的有限集合，边是顶点的无序对，记为(v,w)或(w,v),并且(v,w)=(w,v)

若属于E(G)必有属于E(G), 则称(v,w) 为顶点v 和顶点w 之间存在一条边

由顶点集和边集构成的图称作无向图

有向完全图和无向完全图

假设图中有n个顶点，e条边：

• 有向完全图——含e=n(n-1)条弧的有向图
• 无向完全图——含e=n(n-1)/2条边的无向完全图
  

稀疏图和稠密图

假设图中有n个顶点，e条边：
若边或弧的个数e

二、基本操作

CreateGraph(&G,V,VR);   //按定义(V,VR)构造图

DestroyGraph(&G);   //销毁图

LocateVex(G,u);     //若G中存在顶点u 则返回该顶点在图中位置，否则返回其他信息

GetVex(G,V);        返回V的值

PutVex(&G,V,value);     //对v赋值value

// 在一个图中，顶点是没有先后次序的，
// 但当采用某一种确定的存储方式存储后，
// 存储结构中的顶点存储次序构成顶点之间的相对次序

FirstAdjVex(G,v);   //返回v的第一个邻接点 若该顶点
                    //在G中没有邻接点 则返回空
            
NextAdjVex(G,v,w);
                //返回v的（相对于w的）下一个邻接点
                // 若w是v的最后一个邻接点 则返回空

InsertVex(&G,v);    //在图G中增加新顶点v

DeleteVex(&G,v);        //删除G中顶点v及其相关的弧

InsertArc(&G,v,w);      //在G中增添 若G是无向的则删除对称弧

DFSTraverse(G,v,Visit()); //从顶点v起深度优先遍历图G 并对每个顶点调用函数Visit一次且仅一次

BFSTraverse(G,v,Visit());   //从顶点v起广度优先遍历图G 并对每个顶点调用函数Visit一次且仅一次

图的存储结构

一、图的数组（邻接矩阵）存储表示

定义：矩阵的元素为

有向图的邻接矩阵为非对称矩阵

特点：

• 无向图的邻接矩阵对称，可压缩存储；有n个顶点 的无向图需存储空间为n(n+1)/2
• 有向图邻接矩阵不一定对称；有n个顶点的有向图 需存储空间为n²
• 无向图中顶点Vi的度TD(Vi)是邻接矩阵A中第i行“1” 的个数之和
• 有向图中，顶点Vi的出度是A中第i行“1”的个数之 和
• 顶点Vi的入度是A中第i列“1”的个数之和

网的邻接矩阵定义：

邻接矩阵表示法的优缺点：
优点：容易实现图的操作，如：求某顶点的度、判 断顶点之间是否有边、找顶点的邻接点等等

缺点：：n个顶点需要 n*n 个单元存储边;空间效率为 O(n2)。对稀疏图而言尤其浪费空间。

邻接矩阵实现：

typedef struct AreCell { //弧的定义
    VRType adj;     //VRType是顶点关系类型
            //对无权图 用1或0表示是否相邻
            //对有权图 则为权值类型
    InfoType *info; //  该弧相关信息的指针

}ArcCell;

AdjMatrix[MAX_VERTEX_NUM] [MAX_VERTEX_NUM];

typedef struct {    //图的定义
    VertexType  vexs[MAX_VERTEX_NUM]; //    顶点信息
    AdjMatrix arcs;         //邻接矩阵
    int vexnum,arcnum;      //顶点数，弧数
    GraphKind kind;         //图的种类标志

}MGraph;


//邻接矩阵的存储表示
//用两个数组分别存储顶点表和邻接矩阵
#define MaxInt 32767            //表示极大值 即∞
#define MAX_VERTEX_NUM100      //最大顶点数 
typedef char VerTexType;       //假设顶点的数据类型为字符型
typedef int VRType; (最简单的)    //假设边的权值类型为整型

typedef struct{ 
        VerTexType vexs[MVNum];    //顶点表 
        AdjMatrix arcs; //邻接矩阵 
        //或ArcCell arcs[MAX_VERTEX_NUM][MAX_VERTEX_NUM]; 
        //VRType arcs[MAX_VERTEX_NUM][MAX_VERTEX_NUM];
        int vexnum,arcnum;     //图的当前顶点数和边数 
}AMGraph; 

采用邻接矩阵表示法创建无向网：
算法思想：

1. 输入总顶点数和总边数
2. 依次输入点的信息存入顶点表中
3. 初始化邻接矩阵，使每个权值初始化为极大值
4. 构造邻接矩阵

算法描述：

Status CreateUDN(AMGraph &G) {
    //采用邻接矩阵表示法，创建无向网G
    cin>>G.vexnum>>G.arcnum;        //输入总顶点数 总边数
    for(i = 0;i<G.vexnum; ++i) 
        cin>>G.vexs[i];             //依次输入顶点的信息
    for(i = 0;i<G.vexnum; ++i)      //初始化邻接矩阵 边的权值均置为极大值
        for(j = 0; j<G.vexnum; ++j)
            G.arcs[i][j] = MaxInt;
    for(k = 0; k<G.arcnum; ++k) {       //构造邻接矩阵
        cin>>v1>>v2>>w;                 //输入一条边依附的顶点和权值
        i = LocateVex(G,v1);
        j = LocateVex(G,v2);            //确定v1和v2在G中的位置
        G.arcs[i][j].adj = w;       //边的权值置为w
        G.arcs[j][i].adj = G.arcs[i][j].adj;    //置的对称边的权值为w 
    }
    ewruen OK;
}//CreateUDN 

int LocateVex(MGraph G,VertexType u) {
    //存在则返回u在顶点表中的下标;否则返回-1 
    int i; 
    for(i=0;i<G.vexnum;++i) 
        if(u==G.vexs[i]) 
            return i; 
        return -1; 
}

二、图的邻接表存储表示

有向图的邻接表：

有向图的逆邻接表：
在有向图的逆邻接 表中，对每个顶点，链接的是指向该顶点的弧。

特点：

• 表结点与边数的关系
• 无向图中顶点Vi的度为第i个单链表中的结点数
• 有向图中：
  • 顶点Vi的出度为第i个单链表中的结点个数
  • 顶点Vi的入度为整个单链表中邻接点域值是i 的结点个数

邻接表的实现：

typedef struct ArcNode {
    int adjvex;     //该弧所指向的顶点的位置
    struct ArcNode *nextarc; // 指向下一条弧的指针 
    InfoType  *info;   // 该弧相关信息的指针 
}ArcNode;

typedef structVNode {
    VertexType  data;   // 顶点信息 
    ArcNode  *firstarc; // 指向第一条依附该顶点的弧 

}VNode, AdjList[MAX_VERTEX_NUM];

typedef struct { 
    AdjList  vertices; 
    int vexnum, arcnum; 
    intkind;          // 图的种类标志 

}ALGraph;

采用邻接表表示法创建无向网：
算法思想：

1. 输入总顶点数和总边数
2. 依次输入点的信息存入顶点表中，使每个表头结 点的指针域初始化为NULL
3. 创建邻接表

算法描述：

Status CreateUDG(ALGraph &G) {
    //采用邻接表表示法 创建无向图G
    cin>>G.vexnum>>G.arcnum;        //输入总顶点数 总边数
    for(i = 0;i<G.vexnum; ++i) {    //输入各点 构造表头结点
        cin>>G.vertices[i].data;    //输入顶点值
        G.vertices[i].firstarc = NULL;  //初始化表头结点的指针域为NULL

    }
    for(k = 0;k<G.arcnum;++k) { //输入各边 构造邻接表 
        cin>>v1>>v2;            //输入一条边依附的两个顶点
        i = LocateVex(G,v1);
        j = LocateVex(G, v2); 
        p1=new ArcNode;               //生成一个新的边结点*p1 
        p1->adjvex=j;                   //邻接点序号为j 
        p1->nextarc= G.vertices[i].firstarc;  G.vertices[i].firstarc=p1; 
        //将新结点*p1插入顶点vi的边表头部 
        p2=new ArcNode; //生成另一个对称的新的边结点*p2 
        p2->adjvex=i;                   //邻接点序号为i 
        p2->nextarc= G.vertices[j].firstarc;  G.vertices[j].firstarc=p2;  
        // /将新结点*p2插入顶点vj的边表头部 

    }
    return OK;
}

邻接表表示法的优缺点：
优点：空间效率高，容易寻找顶点的邻接点
缺点：判断两顶点间是否有边或弧，需要搜索两结点对应的单链表，没有邻接矩阵方便

邻接矩阵与邻接表表示法的关系：

1. 联系：邻接表中每个链表对应于邻接矩阵中的一行， 链表中结点个数等于一行中非零元素的个数。
2. 区别：
   对于任一确定的无向图，邻接矩阵是唯一的（行列 号与顶点编号一致），但邻接表不唯一（链接次序 与顶点编号无关）。
   邻接矩阵的空间复杂度为O(n2),而邻接表的空间复 杂度为O(n+e)。
3. 用途：邻接矩阵多用于稠密图；而邻接表多用于稀 疏图

三、有向图的十字链表存储表示

typedef struct ArcBox { //弧的结构表示
    int tailvex.headvex;
    InfoType *info;
    struct ArcBox *hlink,*tlink;

}ArcBox;

typedef struct VexNode {    //顶点的结构表示
    VeertexType data;
    ArcBox *firstin,*firstout;
}VexNode;

有向图的结构表示（十字链表）

typedef struct {
    VexNode xlist[MAX_VERTEX_NUM];
    // 顶点结点(表头向量)
    int vexnum, arcnum; //有向图的当前顶点数和弧数 
}OLGraph;

四、无向图的邻接多重表存储表示

边的结构表示：

typedef struct EBox {
    VisitIf mark;       //访问标记
    int ivex,jvex;      //该边依附的两个顶点的位置
    struct EBox *ilink,*jlinkl;     //分别指向依附这两个顶点的下一条边
    InfoType     *info;          // 该边信息指针 
}

顶点的结构表示：

typedef struct VexBox { 
    VertexType  data;
    EBox  *firstedge; // 指向第一条依附该顶点的边 

}VexBox;

无向图的结构表示：

typedef struct {  // 邻接多重表
    VexBox  adjmulist[MAX_VERTEX_NUM]; 
    int vexnum, edgenum;    
    
}AMLGraph;

图的遍历

从图中某个顶点出发游历图，访遍 图中其余顶点，并且使图中的每个顶点 仅被访问一次的过程。

一、深度优先搜索

连通图的深度优先搜索遍历
从图中某个顶点V0 出发，访问此顶 点，然后依次从V0的各个未被访问的邻接 点出发深度优先搜索遍历图，直至图中所 有和V0有路径相通的顶点都被访问到

从深度优先搜索遍历连通图的过 程类似于树的先根遍历
如何判别V的邻接点是否被访问：

解决的办法是：为每个顶点设立一 个“访问标志visited[w]”

void DFS(Graph G,int v) {
    //从第v个顶点出发，深度优先搜索遍历连通图G 
    visited[v] = TRUE;
    VisitFunc(v);
    for(w = FirstAdjVex(G,v);w>=0; w=NextAdjVex(G,v,w)) 
        if (!visited[w])  DFS(G, w); // 对v的尚未访问的邻接顶点w // 递归调用DFS 

}

非连通图的深度优先搜索遍历

首先将图中每个顶点的访问标志设 为FALSE, 之后搜索图中每个顶点，如 果未被访问，则以该顶点为起始点，进 行深度优先搜索遍历，否则继续检查下 一顶点。

bool visited[MAX];// 访问标志数组 

Status (*VisitFunc)(int v);
//函数变量，是 一个静态分配的指针，VisitFunc指向一 个函数，
//这个函数原型为Status fun(int v)，即返回类型为Status，
//形参类型为 int,VisitFunc是定义的指向具有这种函数 原型的指针。

void DFSTraverse(Graph G, Status(*Visit)(int v)){
     // 对图G 作深度优先遍历
     VisitFunc = Visit;   //使用全局变量VisitFunc,使DFS不必设函数指针参数 
     for(v=0; v<G.vexnum; ++v) 
        visited[v] = FALSE; // 访问标志数组初始化 
    for(v=0; v<G.vexnum; ++v) 
        if(!visited[v])  
            DFS(G, v); // 对尚未访问的顶点调用DFS
}

时间复杂度分析：

遍历图的过程实质上是对每个顶点查找其邻 接点的过程。其耗费的时间取决于所采用的 存储结构。当用邻接矩阵做存储结构时，查 找每个顶点的邻接点所需时间为O(n^2)，当 以邻接表做存储结构时，找邻接点所需时间 为O(e)。因此，当以邻接表作存储结构时，深 度优先搜索遍历图的时间复杂度为O(n+e)

注意：

• 每次调用前一定要判断起点的visited标志
• 这个算法还可以求图G的连通性、连通分量 的个数以及每个连通分量的顶点个数（注 意是无向图）

二、广度优先搜索

从图中的某个顶点V0出发，并在访问此 顶点之后依次访问V0的所有未被访问过的 邻接点，之后按这些顶点被访问的先后次 序依次访问它们的邻接点，直至图中所有 和V0有路径相通的顶点都被访问到。 若此时图中尚有顶点未被访问，则另选 图中一个未曾被访问的顶点作起始点，重 复上述过程，直至图中所有顶点都被访问 到为止。

void BFSTraverse(Graph G,Status (*Visit)(int v)) {
    for(v=0; v<G.vexnum; ++v)
        visited[v] = FALSE;  //初始化访问标志 
    InitQueue(Q);// 置空的辅助队列Q
    for( v=0;  v<G.vexnum;  ++v )
        if (!visited[v]){// v 尚未访问
            visited[v] = TRUE;  Visit(v);    // 访问v 
            EnQueue(Q, v);// v入队列 
            while(!QueueEmpty(Q))  {
                DeQueue(Q, u);        // 队头元素出队并置为u 
                for(w=FirstAdjVex(G, u); w>=0; w=NextAdjVex(G,u,w)) 
                    if ( ! visited[w]){ 
                        visited[w]=TRUE;  Visit(w); 
                        EnQueue(Q, w);// 访问的顶点w入队列 
                    } // if 
            } // while
        }   
}

时间复杂度分析：

遍历图的过程实质上是通过边或弧找邻接点 的过程，因此广度搜索遍历图的时间复杂度 和深度优先搜索遍历相同，两者不同之处仅 仅在于对顶点的访问顺序不同。

三、遍历应用举例

求一条从顶点i 到顶点s 的简单路径

结论：

1. 从顶点i 到顶点s ,若存在路径，则从 顶点i 出发进行深度优先搜索，必能搜索 到顶点s
2. 遍历过程中搜索到的顶点不一定是路 径上的顶点
3. 由它出发进行的深度优先遍历已经完 成的顶点不是路径上的顶点需要被删除

voidDFSearch( int v, int s, char*PATH)  { 
    // 从第v个顶点出发递归地深度优先遍历图G， 
    // 求得一条从v到s的简单路径，并记录在PATH中 
    visited[v] = TRUE;   // 访问第v 个顶点 
    Append(PATH, getVertex(v));// 第v个顶点加入路径 
    for(w=FirstAdjVex(v);  w>=0&&!found; w=NextAdjVex(v) ) 
        if(w=s) {
            found = TRUE;  
            Append(PATH, w); 
            Output(PATH);
        }
        else if (!visited[w])  
            DFSearch(w, s, PATH); 
        if (!found)  Delete (PATH,v);// 从路径上删除第v个顶点
}

求两个顶点之间的一条路径长度短的路 径

若两个顶点之间存在多条路径，则其中必有 一条路径长度短的路径。如何求得这条 路径?

1. 将链队列的结点改为“双链”结点。即 结点中包含next 和prior两个指针
2. 修改入队列的操作。插入新的队尾结点 时，令其prior域的指针指向刚刚出队列的 结点，即当前的队头指针所指结点；
3. 修改出队列的操作。出队列时，仅移动 队头指针，而不将队头结点从链表中删除。

typedef DuLinkList QueuePtr; 
void InitQueue(LinkQueue &Q) {
    Q.front=Q.rear=(QueuePtr)malloc(sizeof(QNode));
    Q.front->next = Q.rear->prior = NULL;
}

void EnQueue( LinkQueue &Q, QelemType e ) { 
    p = (QueuePtr) malloc(sizeof(QNode)); 
    p->data = e;  p->next = NULL;
    p->prior = Q.front;
    Q.rear->next = p;  Q.rear = p;
}

void DeQueue( LinkQueue &Q, QelemType &e ) { 
    Q.front = Q.front->next;  
    e = Q.front->data
}

void BFSSearch(int v,int s){ 
    for(v=0; v<G.vexnum; ++v) 
    visited[v] = FALSE;  //初始化访问标志 
    InitQueue(Q);// 置空的辅助队列Q 
    if (!visited[v]){// v 尚未访问 
        visited[v] = TRUE;  
        Visit(v);    // 访问v 
        EnQueue(Q, v);// v入队列 
        while(!QueueEmpty(Q))  { 
            DeQueue(Q, u);      // 队头元素出队并置为u 
            for(w=FirstAdjVex(G, u); w>=0&&!found;   w=NextAdjVex(G,u,w)) 
                if ( ! visited[w]){ 
                    visited[w]=TRUE;  
                    Visit(w); 
                    EnQueue(Q, w);// 访问的顶点w入队列 
                    if (w==s) {
                        outshortpath(Q);
                        found=TRUE;
                    } 
                } // if 
                if (found) 
                    break; 
        } // while 
    }
}

生成树

定义：
所有顶点均由边连接在一起，但不 存在回路的图叫生成树
深度优先生成树与广度优先生成树
生成森林：
非连通图每个连通分量的生成 树一起组成非连通图的生成森林。

说明：

• 一个图可以有许多棵不同的生成树
• 所有生成树具有以下共同特点：
  • 生成树的顶点个数与图的顶点个数相同
  • 生成树是图的极小连通子图
  • 一个有n个顶点的连通图的生成树有n-1条边
  • 生成树中任意两个顶点间的路径是唯一的
  • 在生成树中再加一条边必然形成回路
  • 含n个顶点n-1条边的图不一定是生成树

(连通网的)最小生成树

假设要在n 个城市之间建立通讯 联络网，则连通n 个城市只需要修建 n-1条线路，如何在最节省经费的前 提下建立这个通讯网？

该问题等价于：

构造网的一棵小生成树，即：在e 条 带权的边中选取n-1 条边（不构成回路）， 使“权值之和”为小

解决方案一：普里姆算法

算法的基本思想：

取图中任意一个顶点v 作为生成树的根， 之后往生成树上添加新的顶点w。在添加 的顶点w 和已经在生成树上的顶点v 之间 必定存在一条边，并且该边的权值在所有 连通顶点v 和w 之间的边中取值最小。之 后继续往生成树上添加顶点，直至生成树 上含有n-1 个顶点为止。

一般情况下所添加的顶点应满足下列条件：
在生成树的构造过程中，图中n 个 顶点分属两个集合：已落在生成树上的 顶点集U和尚未落在生成树上的顶点集 V-U，则应在所有连通U中顶点和V-U中 顶点的边中选取权值最小的边

算法步骤：

• 设N=(V,{E})是连通网，TE是N上小生成树 中边的集合
• 1、初始令U={u0},(u0属于V), TE为空
• 2、在所有u属于U,v属于V-U的边(u,v)属于E中，找一 条代价小的边(u0,v0)
• 3、将(u0,v0)并入集合TE，同时v0并入U
• 4、重复2和3步直至U=V为止，则T=(V,{TE}) 为N的小生成树

算法实现：使用邻接矩阵表示图

//设置一个辅助数组，对当前V－U集 中的每个顶点，
//记录和顶点集U中顶点 相连接的代价最小的边：

struct { 
    VertexType  adjvex;  // U集中的顶点序号 
    VRType     lowcost;  // 边的权值
}closedge[MAX_VERTEX_NUM];

void MiniSpanTree_P(MGraph G, VertexType u) { 
    //用普里姆算法从第u个顶点出发构造网G的最小生成树
    k = LocateVex ( G, u ); 
    for ( j=0; j<G.vexnum; ++j )  // 辅助数组初始化 
        if(j!=k) 
            closedge[j] = { u, G.arcs[k][j].adj }; 
    closedge[k].lowcost = 0;      // 初始，U＝{u} 
    for(i=0; i<G.vexnum; ++i) {
        // 继续向生成树上添加顶点
        k = minimum(closedge);  // 求出加入生成树的下一个顶点(k) 
        printf(closedge[k].adjvex, G.vexs[k]); // 输出生成树上一条边 
        closedge[k].lowcost = 0;    // 第k顶点并入U集 
        for(j=0; j<G.vexnum; ++j) //修改其它顶点的最小边
            f (G.arcs[k][j].adj < closedge[j].lowcost) 
                closedge[j] = { G.vexs[k], G.arcs[k][j].adj };
    }
}

时间复杂度分析：

假设网中有n个顶点，则第一个进行初始化的 循环语句的频度为n，第二个循环语句的频度 为n-1。其中有两个内循环：其一是在 closedge[v].lowcost中求小值，其频度为n-1 ；其二是重新选择具有小代价的边，其频 度为n。由此，普里姆算法的时间复杂度为 O(n^2)，与网中的边数无关，因此适用于求 边稠密的网的小生成树。
算法评价：T(n)=O(n²)

解决方案二：克鲁斯卡尔算法

考虑问题出发点：
为使生成树上边的权 值之和达到最小，则应使生成树中每一条 边的权值尽可能地小。

具体做法：
先构造一个只含n 个顶点的子图 SG，然后从权值最小的边开始，若它的添 加不使SG 中产生回路，则在SG 上加上这 条边，如此重复，直至加上n-1 条边为止。

算法描述：

构造非连通图ST=( V,{ } ); 

k = i = 0;    // k 计选中的边数 
while(k<n-1) { 
    ++i; 
    检查边集E 中第i 条权值最小的边(u,v); 
    若(u,v)加入ST后不使ST中产生回路， 
    则输出边(u,v);且k++; 
}

算法的时间复杂度：

克鲁斯卡尔算法的时间复杂度为O(eloge)，适 合于求边稀疏的网的小生成树。

两种算法比较

Prim算法:归并顶点，与边数无关，适于稠密网
Kruskal算法：归并边，适于稀疏网

拓扑排序

假设以有向图表示一个工程的施工图或程序 的数据流图，则图中不允许出现回路。 检查有向图中是否存在回路的方法之一，是 对有向图进行拓扑排序。

什么是拓扑排序：

对有向图进行如下操作：按照有向图给出的次序关系，将图中顶 点排成一个线性序列，对于有向图中没有 限定次序关系的顶点，则可以人为加上任 意的次序关系。

一个AOV网的拓扑序列不是唯一的

这种用顶点表示活动，用弧表示活动间的 优先关系的有向图称为顶点表示活动的网 （Activity On Vertex Network）,简称AOV网

如何进行拓扑排序：

1. 从有向图中选取一个没有前驱 的顶点，并输出之
2. 从有向图中删去此顶点以及所 有以它为尾的弧
3. 重复上述两步，直至图空，或者图不空但找 不到无前驱的顶点为止。

算法描述：

取入度为零的顶点v; 

while (v<>0){ 
    printf(v);  
    ++m; 
    w=FirstAdj(v); 
    while (w<>0) { 
        inDegree[w]--; 
        
        w=nextAdj(v,w); 
    } 
    取下一个入度为零的顶点v; 
} 
if m<n  printf(“图中有回路”);

说明：

• 以邻接表作存储结构
• 为避免每次都要搜索入度为零的顶点，在算法 中设置一个“栈”，以保存“入度为零”的顶点

算法实现如下：

Status TopologicalSort(ALGraph G){ 
    FindInDegree(G,indegree); //对各顶点求入度 
    InitStack(S); 
    for( i=0; i<G.vexnum; ++i) 
        if (!indegree[i])  Push(S, i); 
            //入度为零的顶点入栈
            count=0;      //对输出顶点计数 
            while(!EmptyStack(S)) { 
                Pop(S, i); printf(i,G.vertices[i].data);++count;  
                for(p=G.vertices[i].firstarc;p;p=p->nextarc){ 
                    k=p->adjvex;  //取出弧头顶点在图中的位置 
                    if(!(--indegree[k])  Push(S, k); 
                    //弧头顶点的入度减一,新产生的入度为零的顶点入 栈
                } 
            } 
            if(count<G.vexnum) 
                return ERROR;   //图中有回路”) 
            else 
                return OK; 
}

关键路径

假设以有向网表示一个施工流图，弧上的权 值表示完成该项子工程所需时间。 问：哪些子工程项是“关键工程”？ 即：哪些子工程项将影响整个工程的完成期限?

整个工程完成的时间为：从有向图的源点到汇点 的最长路径

这种用边表示活动的网，称AOE网。AOE网 是一个带权的有向无环图，其中，顶点表 示事件，权表示活动持续的时间

如何求关键活动：

• “事件(顶点)” 的最早发生时间ve(j) ve(j) = 从源点到顶点j的最长路径长度
• “事件(顶点)” 的最迟发生时间vl(k) vl(k) =在保证汇点在ve(汇点) 时刻完成 的前提下，事件k允许的最迟开始时间

假设第i 条弧为<j, k> 
则对第i 项活动而言 
“活动(弧)”的最早开始时间ee(i) 
    ee(i) = ve(j)； 
    “活动(弧)”的最迟开始时间el(i) 
    el(i) = vl(k) –dut(<j,k>)；

事件发生时间的计算公式： 
    ve(源点) = 0； 
    ve(k) = Max{ve(j) + dut(<j, k>)}

vl(汇点) = ve(汇点)； 
vl(j) = Min{vl(k) –dut(<j, k>)}

算法的实现要点：

• 显然，求ve的顺序应该是按拓扑有序的次 序
• 而求vl的顺序应该是按拓扑逆序的次序
• 因为拓扑逆序序列即为拓扑有序序列的 逆序列
• 因此应该在拓扑排序的过程中， 另设一个“栈”记下拓扑有序序列

两点之间的最短路径问题

求从某个源点到其余各点的短路径

算法的基本思想：

依最短路径的长度递增的次序求得 各条路径

路径长度最短的最短路径的特点：
在这条路径上，必定只含一条弧，并且 这条弧的权值最小。
下一条路径长度次短的最短路径的特点：
它只可能有两种情况：或者是直接从源 点到该点(只含一条弧)；或者是从源点经 过顶点v1，再到达该顶点(由两条弧组成)。

再下一条路径长度次短的最短路径的特点:
它可能有三种情况：或者是直接从源点到 该点(只含一条弧)；或者是从源点经过顶点 v1，再到达该顶点(由两条弧组成)；或者是 从源点经过顶点v2，再到达该顶点。

其余最短路径的特点：
它或者是直接从源点到该点(只含一条 弧)；或者是从源点经过已求得最短路径 的顶点，再到达该顶点。

求最短路径的迪杰斯特拉算法：
设置辅助数组Dist，其中每个分量Dist[k] 表示当前所求得的从源点到其余各顶点k 的最短路径

一般情况下， Dist[k] = <源点到顶点k 的弧上的权值> 或者= <源点到其它顶点的路径长度> +<其它顶点到顶点k 的弧上的权值>。

每一对顶点之间的短路径

弗洛伊德算法的基本思想是：
从v i到v j的所有 可能存在的路径中，选 出一条长度最短的路径。

以此类推，则vi至vj的最短路径应该是上述这些路径中，路径长度最小者。