图论-中心度量

解决问题

在有向图中对节点重要性进行排序，它的思想是模拟一个悠闲的上网者，上网者首先随机选择一个网页打开，然后在这个网页上呆了几分钟后，跳转到该网页所指向的链接，这样无所事事、漫无目的地在网页上跳来跳去，PageRank就是估计这个悠闲的上网者分布在各个网页上的概率。

最简单pagerank模型

联网中的网页可以看出是一个有向图，其中网页是结点，如果网页A有链接到网页B，则存在一条有向边A->B，下面是一个简单的示例：

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这个例子中只有四个网页，如果当前在A网页，那么悠闲的上网者将会各以1/3的概率跳转到B、C、D，这里的3表示A有3条出链，如果一个网页有k条出链，那么跳转任意一个出链上的概率是1/k，同理D到B、C的概率各为1/2，而B到C的概率为0。一般用转移矩阵表示上网者的跳转概率，如果用n表示网页的数目，则转移矩阵M是一个n*n的方阵；如果网页j有k个出链，那么对每一个出链指向的网页i，有M[i][j]=1/k，而其他网页的M[i][j]=0；上面示例图对应的转移矩阵如下：

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初试时，假设上网者在每一个网页的概率都是相等的，即1/n，于是初试的概率分布就是一个所有值都为1/n的n维列向量V0，用V0去右乘转移矩阵M，就得到了第一步之后上网者的概率分布向量MV0,（nXn）*(nX1)依然得到一个nX1的矩阵。下面是V1的计算过程：

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注意矩阵M中M[i][j]不为0表示用一个链接从j指向i，M的第一行乘以V0，表示累加所有网页到网页A的概率即得到9/24。得到了V1后，再用V1去右乘M得到V2，一直下去，最终V会收敛，即Vn=MV(n-1)，上面的图示例，不断的迭代，最终V=[3/9,2/9,2/9,2/9]’：

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终止点问题

上述上网者的行为是一个马尔科夫过程的实例，要满足收敛性，需要具备一个条件：
图是强连通的，即从任意网页可以到达其他任意网页：
互联网上的网页不满足强连通的特性，因为有一些网页不指向任何网页，如果按照上面的计算，上网者到达这样的网页后便走投无路、四顾茫然，导致前面累计得到的转移概率被清零，这样下去，最终的得到的概率分布向量所有元素几乎都为0。假设我们把上面图中C到A的链接丢掉，C变成了一个终止点，得到下面这个图：

四、陷阱问题
另外一个问题就是陷阱问题，即有些网页不存在指向其他网页的链接，但存在指向自己的链接。比如下面这个图：
上网者跑到C网页后，就像跳进了陷阱，陷入了漩涡，再也不能从C中出来，将最终导致概率分布值全部转移到C上来，这使得其他网页的概率分布值为0，从而整个网页排名就失去了意义。

解决终止点问题和陷阱问题

上面过程，我们忽略了一个问题，那就是上网者是一个悠闲的上网者，而不是一个愚蠢的上网者，我们的上网者是聪明而悠闲，他悠闲，漫无目的，总是随机的选择网页，他聪明，在走到一个终结网页或者一个陷阱网页（比如两个示例中的C），不会傻傻的干着急，他会在浏览器的地址随机输入一个地址，当然这个地址可能又是原来的网页，但这里给了他一个逃离的机会，让他离开这万丈深渊。模拟聪明而又悠闲的上网者，对算法进行改进，每一步，上网者可能都不想看当前网页了，不看当前网页也就不会点击上面的连接，而上悄悄地在地址栏输入另外一个地址，而在地址栏输入而跳转到各个网页的概率是1/n。假设上网者每一步查看当前网页的概率为a，那么他从浏览器地址栏跳转的概率为(1-a)，于是原来的迭代公式转化为：

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用Map-reduce计算Page Rank

上面的演算过程，采用矩阵相乘，不断迭代，直到迭代前后概率分布向量的值变化不大，一般迭代到30次以上就收敛了。真的的web结构的转移矩阵非常大，目前的网页数量已经超过100亿，转移矩阵是100亿*100亿的矩阵，直接按矩阵乘法的计算方法不可行，需要借助Map-Reduce的计算方式来解决。实际上，google发明Map-Reduce最初就是为了分布式计算大规模网页的pagerank，Map-Reduce的pagerank有很多实现方式，我这里计算一种简单的。

考虑转移矩阵是一个很多的稀疏矩阵，我们可以用稀疏矩阵的形式表示，我们把web图中的每一个网页及其链出的网页作为一行，这样第四节中的web图结构用如下方式表示

1 A    B    C    D
2 B    A    D
3 C    C
4 D    B    C

1、Map阶段

Map操作的每一行，对所有出链发射当前网页概率值的1/k，k是当前网页的出链数，比如对第一行输出1/4>,1/4>,;

2、Reduce阶段

Reduce操作收集网页id相同的值，累加并按权重计算，pj=a(p1+p2+…Pm)+(1-a)1/n，其中m是指向网页j的网页j数，n所有网页数。

思路就是这么简单，但是实践的时候，怎样在Map阶段知道当前行网页的概率值，需要一个单独的文件专门保存上一轮的概率分布值，先进行一次排序，让出链行与概率值按网页id出现在同一Mapper里面，整个流程如下：

graph-tool中使用pagerank

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中介核心性(betweenness)

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度中心性（Degree Centrality）

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Closeness

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特征向量中心性（eigenvector centrality）

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邻接矩阵的最大特征值的特征向量作为中心性度量值。

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Katz

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hits

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