今上午讲课的时候目睹了大型jc现场甚至我也参加了lkpdalao被jc了ahhh
一、概念
什么是二分图？
一张图上的点可以分为、两个点集，点集内的点
没有交集，且任意一条边连接两个点集。
什么是匹配？？
匹配：一个匹配即一个包含若干条边的集合，且其中任意两条边没有公共端点。
右图的红边为左图的一个匹配
什么是最大匹配？？
在G的一个子图M中，M的边集中的任意两条边都不依附于同一个顶点，则称M是一个_匹配_。
选择这样的边数最大的子集称为_图的最大匹配问题_，最大匹配的边数称为_最大匹配数_.
如果一个匹配中，图中的每个顶点都和图中某条边相关联，则称此匹配为_完全匹配_，也称作_完备匹配_。
匈牙利算法：
匈牙利算法又称作_稳定婚姻系统_
将左边看做男生，右边看做女生，条件：
1.对于男生来说，右边的女生编号越小心仪度越高
2.对于女生来说，左边的男生编号越大心仪度越高
3.编号小的男生具有优先权
4.在配对最多的前提下，优先满足女生
所以在配对最多的前提下，在满足优先权的前提下
男生选到的是他最差的女生
女生选到的是她最好的男生（这让我想到了封建帝制的男女不平等）
上代码（复杂度O（n），n为边数）：
应用：
1.最大匹配问题：
例题
因为求的是最小的市区宝石的数量，我们可以转化为最大可以剩下多少宝石的数量，然后可以跑一个二分图
跑二分图的时候注意这是一个环，然后我们可以把这个环的两边都连起来，然后判断这个x的两边的y是不是能把
x搞得没了价值，然后求ans
2.方格图奇偶分治
一个例题，想欣赏英文题目的小伙伴可以戳这里
我翻译下来的简略的中文博客
n*m的方格有些格子已经被占用，每相邻的两个格子可以看成一组， 最多能将方格图划分成多少组，输出方案数..
那么我们可以从最简单的图（都可以利用的那种图）来看
这样一个图怎么进行二分图匹配？？
因为他这是相连的两个格子可以涂成黑的，所以他斜着的那个格子就可以不与当前的格子产生影响，那么
这两个方框就可以在同一列中， 因为在同一列里的都是互不相干的，然后连线的时候就可以与这个格子相邻
的上下左右的格子连上点就可以了...（如图，1表示在左列中，2表示在右列中）
3.点覆盖集
点覆盖集是无向图 的一个点集，使得该图中所有边都至少有一个端点在该集合内。
最小点覆盖集是在无向图中，点数最少的点覆盖集。
最小点覆盖集：
最小点覆盖集=二分图最大匹配数
证明：
边分为匹配边和未匹配边；
未匹配边一定至少有一个点被选中，否则会增加一个新的匹配，与最大匹配不符所以是最小点覆盖；
例题
题意：一颗子弹可以清楚一行或一列的障碍，求最少用多少子弹可以清楚所有障碍
因为子弹是一打，打一行或者一列的，那么我们可以将每一行每一列当做一个点，
二分图的时候把列和行分别来放，列放一边，行放一边，然后每个行和列如果有一个障碍的话
那么给他连一个线， 那么二分图就建好了，然后跑一边匈牙利算法就好了...