信用评分卡—信贷准入A卡（逻辑回归）

前言

在业界有几种不同的流派（业界建立逻辑回归）

• 直接用原始变量进行回归（模型粗糙并不能生成评分卡）
• 从原始数据生成0/1的虚拟变量（dummy variable）进行回归（FICO用的较多，已不是主流）
• 从原始数据生成woe（weight of evidence）进行回归

1.逻辑回归原理

1.1 求解方式

预测函数(线性回归模型上加了sigmoid函数)：$$h_{\theta }(x)=\frac{1}{1+e^{-\theta x}}其中\theta x={\theta }_0+{\theta }_1{x}_1+{\theta }_2{x}_2+...+{\theta }_n{x}_n$$
对于二分类：
$$\{\begin{array}{l}p(y=1|x,\theta )=h_{\theta }(x)\\ p(y=0|x,\theta )=1-h_{\theta }(x)\end{array}$$
将其合并得到：
$$p(y|x,\theta )=h_{\theta }(x{)}^y(1-h_{\theta }(x){)}^{(1-y)}$$
利用极大似然估计得到（MLE）：
$$L_{(\theta )}=\prod _{i=1}^{n}p(y_i|x_i,\theta )=\prod _{i=1}^n{h}_{\theta }(x_i{)}^{y_i}(1-h_{\theta }(x_i){)}^{(1-y_i)}$$
两边同时取log：
$$log{L}_{(\theta )}=\sum _{i=1}^m[y_{i}log{h}_{\theta }(x_i)+(1-y_i)log(1-h_{\theta }(x_i))]$$
对于$log{L}_{(\theta )}$求最优解即是求最大值(MLE)，为了用梯度下降的算法对$log{L}_{(\theta )}$取负数，即$-log{L}_{(\theta )}$最小值也就是$log{L}_{(\theta )}$的最大值：
$$J(w)=-\frac{1}{m}log{L}_{(\theta )}=-\frac{1}{m}\sum _{i=1}^m[y_{i}log{h}_{\theta }(x_i)+(1-y_i)log(1-h_{\theta }(x_i))]$$
根据梯度下降的求解可得${\theta }_j$的更新方式：
$${\theta }_j:={\theta }_j-\alpha \frac{1}{m}\sum _{i=1}^m(h_{\theta }(x_i)-y_i)x_i^j$$

1.2 逻辑回归为什么用sigmoid并且转化后的输出即为1的概率

逻辑回归的假设是y服从伯努利分布(E(X)=p，D(X)=p(1-p)),可以得出概率函数：
$$f(x|p)=p^x(1-p{)}^{1-x}=exp(\eta \ast x+ln(1+e^{\eta }))⟹\eta =ln(\frac{p}{1-p})满足条件1$$
$$\eta =x\beta ⟹(结合\eta =ln(\frac{p}{1-p}))⟹E(Y)=p=g^{-1}(\eta )=\frac{1}{1+e^{-\eta }}满足条件2、3$$
在伯努利分布中E(Y)=p表示的就是1的概率

2.逻辑回归到评分卡

2.1 woe及IV

woe的计算公式：
$$WO{E}_i=ln\frac{p(y_{i1})}{p(y_{i0})}=ln\frac{\frac{B_i}{B}}{\frac{G_i}{G}}(p(y_{i1})为i区间坏样本占总体坏样本比例，p(y_{i0})为i区间好样本占总体好样本比例，越大这个分组坏样本可能性越大)$$
IV的计算公式：
$$I{V}_i=(p(y_{i1})-p(y_{i0}))\ast WO{E}_i(WOE的加权求和。IV越大，区分度越大，价值越大)$$

2.2 逻辑回归到评分卡

$$ln(odds)=ln(\frac{p}{1-p})={\theta }_0+{\theta }_1{x}_1+{\theta }_2{x}_2+...+{\theta }_n{x}_n(其中x一般是woe编码后的值，也可以是原始数据，输出即为1的概率)$$
以上给的是概率，有时候还需要将概率以分数形式输出，类似于蚂蚁分。具体如下：
$$Scor{e}_{总}=A+B\ast ln(odds)$$
转换步骤：
1、设定$odds={\theta }_0$时的分数$P_0$
2、设定$odds$每增加一倍时，增加分数为$PDO$
3、当$odds={\theta }_0$时的分数$P_0$，$odds=2{\theta }_0$分数为$P_0+PDO$
$$\{\begin{array}{l}{p}_0=A+Bln({\theta }_0)\\ p_0+PDO=A+Bln(2{\theta }_0)\end{array}$$
$$⟹\{\begin{array}{l}B=\frac{PDO}{ln(2)}\\ A=P_0-Bln({\theta }_0)\end{array}$$

2.3 评分卡的开发流程

具体可参考建模流程https://blog.csdn.net/weixin_41851055/article/details/106194063

• 一个好的评分卡，样本分数平滑且接近正太分布，建模样本与验证样本保持一致
• $log(odds)$和评分之间具有线性关系
• $PSI={\sum }_{i=1}^{n}ln(\frac{建模样本比例i}{验证样本比例i}\ast (建模样本比例i-验证样本比例i))$当PSI<0.2样本稳定

3.逻辑回归对数据的要求（比较严格）

输入数据必须是数值型数据、缺失值必须要填充、数据需要归一化或者标准化

4.逻辑回归的优缺点

优点：

• 形式简单、速度快、占用内存小（只需要各维度的特征值）
• 模型的可解释性好（假设性检验或者直接看各个特征对模型结果的影响）
• 模型效果不错（特征工程做的好）
• 方便输出结果阈值（阈值设定）

缺点：

• 容易欠拟合，相比较集成模型准确率不高
• 对数据要求较高（缺失、数据类型、异常、共线比较敏感）
• 处理非线性比较麻烦（非线性映射）
• 很难处理不平衡数据（高维、大量多类特征难以处理）
• 本身无法筛选特征

5.算法需要注意的点

为什么用极大似然估计作为损失函数
${\theta }_j:={\theta }_j-\alpha \frac{1}{m}{\sum }_{i=1}^m(h_{\theta }(x_i)-y_i)x_i^j$更新速度只与$x_i^j和y_i$相关，与sigmoid梯度无关，如果用平方损失函数会推导出更新的速度和sigmoid函数本身很相关。sigmoid在它定义域内梯度都不大于0.25，这样训练会非常缓慢。

训练过程中，有很多特征高的相关，会造成怎样的影响
损失函数最终收敛的情况下，最后不会影响分类效果。但是对于可解释性会产生很大的影响。（一方面权重分给了不同的特征，另一方面可能正负相互抵消）

为什么在训练过程中将高度相关的特征去掉
1、让模型的可解释性更好。2、大大提高训练速度。

为什么我们选自然对数作为成本函数（符合上面性质函数很多）
因为预测函数有sigmoid，函数中含有$e^n$，其逆运算刚好是自然对数，最终会推导出形式优美模型参数的迭代函数，而不涉及指数或对数运算。

注：

• 理论与实践会有所差别，例如在处理样本不均衡时，评分卡并不是1:1效果最好，需要根据每个场景来实践
• 虽然模型比较偏技术，但是在整个流程当中需要业务的贯穿。无论从单变量的选择（可解释性）还是y标签的制定（vintage）等都需要强有力的业务解释