数据结构 浙大陈姥姥版 第三章

引子

什么是树

树：

客观世界中许多事物的层次关系

• 家谱
• 社会组织结构
• 图书信息管理

为什么要用到树：

分层次组织在管理上效率更高

数据管理的基本操作之一： 查找

查找(Searching)

给某个关键字K，从集合R中找到关键字与K相同的记录

静态查找（查字典）

在数组里面查找元素

方法一： 顺序查找

int SequentialSearch (List Tbl, ElementType K)
{
	int i;
	Tbl->Element[0] = K;//建立哨兵
    //无哨兵
    //for(i = Tbl->Length; i > 0 && Tbl -> Element[i] != K; i--);
	for(i = Tbl->Length; Tbl->Element[i]!=K; i--);
	return i;
}
typedef struct LNode *List;
struct LNode{
    ElementType Element[MAXSIZE];
    int Length;
}

方法二： 二分查找(Binary Search)

电话线 杭州到上海的电线杆

前提条件

1. 假设n个数据元素的关键字满足有序（比如从小到大）

2. 并且是连续存放（数组）

动态查找

树(Tree)

树的定义：

n(n >= 0)个结点构成的有限集合。

当n = 0时，为空树

对于任意非空树：

树中有一个称为”根"(Root)，的特殊结点，用r表示；

其余结点分为m个互不交相的有限集，每个集合本身又是一棵树，称为原来的“子树”(SubTree)

树与非树

• 子树互不相交
• 除了根结点，每个结点有且仅只有一个父节点（往上的边只有一条）
• 一棵N个结点的树有N - 1条边

树是保证结点连通的边最少的的一种连接方式

树的一些基本术语

1. 结点的度(Degree)：结点的子树个数
2. 树的度：树的所有结点中最大的度数
3. 叶结点(Leaf)：度为0的结点，没有子树的结点
4. 父结点(Parent)：
5. 子结点(Child)：若A结点是B结点的父结点，则称B结点是A结点的子结点
6. 兄弟结点(Sibling)：具有同一父结点的各节点彼此都是兄弟结点
7. 路径和路径的长度：
8. 祖先结点(Ancestor)：树根
9. 子孙结点(Descendant)：某一结点的子树中的所有结点是这个结点的子孙
10. 结点的层次(Level)：规定根结点在1层，其他任一结点的层数是其父结点的层数加1
11. 树的深度(Depth)：树中所有结点中的最大层次是这个树的深度

树的表示

二叉树（儿子-兄弟表示法）

二叉树

二叉树的定义

二叉树T：一个有穷的结点集合

​ 这个集合可以为空

​ 若不为空，则它是由根结点和其左子树T_L和右子树T_R的两个不相交的二叉树组成

• 二叉树有5种基本形态
• 二叉树的子树有左右顺序之分

二叉树的几个重要性质

• 一个二叉树第i层的最大结点树为：2^(i-1),i >= 1
• 深度为k的二叉树的最大结点总数为：(2^k) -1, k>=1
• 对任何非空二叉树T，若n_0表示叶结点的个数、n_2是度为2的非叶结点个数，那么两者满足关系n_0 = n_2 + 1

二叉树的抽象数据类型定义

类型名称： 二叉树

数据对象集：一个有穷的结点集合

操作集

常见的遍历方法：

• void PreOrderTraversal(BinTree BT): 先序—根、左子树、右子树
• void InOrderTraversal(BinTree BT): 中序—左子树、根、右子树
• void PostOrderTraversal(BinTree BT): 后序—左子树、右子树、根
• void LevelOrdreTraversal(BinTree BT): 层次遍历—从上到下、从左到右

二叉树的存储结构

1. 顺序存储结构

   完全二叉树：按从上到下、从左到右顺序存储n个结点

   • 非根结点的父结点的序号**[i/2]**
   • 结点 i 的左儿子的结点序号为 2i；右儿子序号为 2i + 1

   一般二叉树也可以采用这种结构，但会造成空间浪费

2. 链表存储

typedef struct TreeNode *BinTree;//结构指针
typedef BinTree Position;//结构指针重命名为Position
struct TreeNode{
	ElementType Data;
	BinTree Left;
	BinTree Right;
}

二叉树的遍历

1）先序遍历

遍历过程：

• 访问根结点；
• 先序遍历其左子树
• 先序遍历其右子树

void PreOrderTraversal(BinTree BT)
{
	if(BT){
		printf("%d",BT->Data);//打印根节点
		PreOrderTraversal(BT->Left);
		PreOrderTraversal(BT->Right);
		}
}

2）中序遍历

遍历过程：

• 中序遍历其左子树
• 访问根结点
• 中序遍历其右子树

void InOrderTraversal(BinTree BT)
{
	if(BT)
	{
		InOrderTraversal(BT->Left);
		printf("%d", BT->Data);
		InOrderTraversal(BT->Right);
	}
}

3. 后序遍历

遍历过程：

• 后序遍历其左子树
• 后序遍历其右子树
• 访问根结点

void PostOrderTraversal(BinTree BT)
{
	if(BT)
	{
		PostOrderTraversal(BT->Left);
        PostOrderTraversal(BT->Right);
		printf("%d", BT->Data);
		
	}
}

二叉树的非递归遍历

中序遍历非递归遍历算法

基本思想：使用堆栈

• 遇到一个结点，就把他压入栈，并去遍历它的左子树
• 当左子树遍历结束后，从栈顶弹出这个结点并访问
• 然后按右指针再去中序遍历该结点的右子树

void InOrderTraversal(BinTree BT)
{
	BinTree T = BT;
	Stack S = CreatStack(MaxSize);
	while(T || !IsEmpty(S)){
		while(T){
			Push(S,T);
			T = T->Left;
		}
		if(!IsEmpty(S)){
			T = Pop(S);
			printf("%5d", T->Data);
			T = T->Right;
		}
	}
}

层次遍历

二叉树遍历的核心问题：二维结构的线性化

队列实现：

遍历从根结点开始，首先将根结点入队，

然后开始执行行循环：①结点出队、②访问该结点、③另其左右儿子入队

void LevelOrderTravesal(BinTree BT)
{
	Queue Q; 
	BinTree T;
	if(!BT)
		return;
	Q = CreatQueue(MaxSize);//创建并初始化队列
	AddQ(Q, BT);//把根结点放到队列里面
	while(!IsEmptyQ(Q)){
		T = DeleteQ(Q);//①从队列抛出元素
		printf("%d\n", T->Data);//②访问去出队列的结点
		if(T->Left)
			AddQ(Q, T->Left);
		if(T->Right)
			Add(Q, T->Right);
	}
	
}