电机学习笔记4——PMSM矢量控制双环PI参数整定(1)

开环控制系统,电机的输出转速并不能跟随负载的变化而调整。转速单闭环控制可以稳定电机的输出转速,但是不能充分的控制电流的动态过程。矢量控制系统是以控制电机的定子电流来控制转矩,如果不能有效控制定子电流,则无法有效控制其转矩。添加一个电流内环,可以使电机在负载波动时,动态调节定子电流,进而匹配电磁转矩,加快系统的动态响应速度。

工程设计转速、电流双闭环的原则是“先内环后外环”。设计步骤是:先从电流环开始,对其进行必要的变换和近似处理后,对电流环进行校正(一般校正成2阶系统),最后按动态性能指标要求确定电流调节器的参数。电流环设计完成之后,把电流环等效成转速环中的一个环节,再用同样的方法设计转速环,一般将速度环校正成3阶系统。

1. 电流环控制器参数设计

对交轴电流 i q i_q iq进行分析。在 d q dq dq坐标系下,永磁同步电机的交直轴电压为
u q = R s i q + L q d i q d t + ω r ( L d i d + ψ f ) u_q = R_si_q + L_q\frac {di_q}{dt} +\omega_r(L_di_d+\psi_f) uq=Rsiq+Lqdtdiq+ωr(Ldid+ψf)
为了便于分析,忽略其中的动态项 ω r ψ f \omega_r\psi_f ωrψf和耦合项 ω r L d i d \omega_rL_di_d ωrLdid,于是得到
u q = R s i q + L q d i q d t u_q = R_si_q + L_q\frac {di_q}{dt} uq=Rsiq+Lqdtdiq
对其进行拉普拉斯变换,得到在电流环下的电机传递函数:
G M ( s ) = i q ( s ) u q ( s ) = 1 L q s + R s G_M(s) = \frac {i_q(s)}{u_q(s)}=\frac 1{L_qs+R_s} GM(s)=uq(s)iq(s)=Lqs+Rs1
于是可以画出电流环的传递函数图:
电机学习笔记4——PMSM矢量控制双环PI参数整定(1)_第1张图片
其中第一项是PI控制器传递函数,第二项是PWM逆变器传递函数,第三项是电机传递函数。令 K i = K p τ i K_i=K_p\tau_i Ki=Kpτi, τ i \tau_i τi为PI控制器的超前时间常数。于是可以得到其开环传递函数:
G i o p e n ( s ) = K p ( τ i s + 1 ) τ i s ⋅ K P W M T P W M s + 1 ⋅ 1 L q s + R s G_{iopen}(s)=\frac {K_p(\tau_is+1)}{\tau_is}· \frac {K_{PWM}}{T_{PWM}s+1} ·\frac 1{L_qs+R_s} Giopen(s)=τisKp(τis+1)TPWMs+1KPWMLqs+Rs1
为了将其校正成2阶系统,可令 τ i = L q / R s \tau_i = L_q/R_s τiLq/Rs,于是可得
G i o p e n ( s ) = K p K P W M L q s ( T P W M s + 1 ) G_{iopen}(s)=\frac {K_pK_{PWM}}{L_qs(T_{PWM}s+1)} Giopen(s)=Lqs(TPWMs+1)KpKPWM
式中 K P W M K_{PWM} KPWM是逆变器放大系数, T P W M T_{PWM} TPWM是逆变器开关周期。
进一步可得其闭环传递函数:
G i c l o s e ( s ) = K g s 2 + 1 T P W M s + K g K g = K p K P W M L q T P W M G_{iclose}(s)=\frac {K_g}{s^2+\frac 1{T_{PWM}}s+K_g}\\ K_g = \frac {K_pK_{PWM}}{L_qT_{PWM}}\\ Giclose(s)=s2+TPWM1s+KgKgKg=LqTPWMKpKPWM
与标准的2阶闭环系统做对比:
G ( s ) = ω n 2 s 2 + 2 ξ ω n s + ω n 2 G(s)=\frac {\omega_n^2}{s^2+2\xi\omega_ns+\omega_n^2} G(s)=s2+2ξωns+ωn2ωn2
可得:
ω n = K g = 1 2 T P W M ξ \omega_n = \sqrt{K_g}=\frac 1{2T_{PWM}\xi} ωn=Kg =2TPWMξ1
进一步可得电流环比例系数和积分系数:
K p = L q 4 ξ 2 K P W M T P W M K i = R s 4 ξ 2 K P W M T P W M K_p = \frac {L_q}{4\xi^2 K_{PWM} T_{PWM}} \\ K_i = \frac {R_s}{4\xi^2 K_{PWM} T_{PWM}} Kp=4ξ2KPWMTPWMLqKi=4ξ2KPWMTPWMRs
PI控制器理想阻尼系数 ξ \xi ξ一般取0.707。 K P W M K_{PWM} KPWM视情况而定,此处取1。最终可以得到
K p = L q 2 T P W M K i = R s 2 T P W M K_p = \frac {L_q}{2T_{PWM}} \\ K_i = \frac {R_s}{2T_{PWM}} Kp=2TPWMLqKi=2TPWMRs

2. 转速环控制器参数设计

转速环设计合理的话,可以提高动态响应速度,减少转速波动。在设计转速环时,可以将电流环的传递函数看作是简单的一阶环节。
G i c l o s e ( s ) = K g s 2 + 1 T P W M s + K g ≈ 1 4 ξ 2 T P W M + 1 G_{iclose}(s)=\frac {K_g}{s^2+\frac 1{T_{PWM}}s+K_g}\approx\frac 1{4\xi^2T_{PWM}+1} Giclose(s)=s2+TPWM1s+KgKg4ξ2TPWM+11
由电机在 d q dq dq坐标系下的电磁转矩方程:
T e = 3 2 p n [ ψ f i q + ( L d − L q ) i d i q ] T_e = \frac 32p_n[\psi_fi_q + (L_d-L_q)i_di_q] Te=23pn[ψfiq+(LdLq)idiq]
i d = 0 i_d = 0 id=0的控制方式下可以进一步简化,并结合电机的运动方程和转速公式:
T e = 3 2 p n ψ f i q T e − T L = J d ω d t n = 30 ω π T_e = \frac 32p_n\psi_fi_q \\ T_e - T_L= J\frac {d\omega}{dt}\\ n =\frac {30\omega}{\pi} Te=23pnψfiqTeTL=Jdtdωn=π30ω
令负载转矩 T L = 0 T_L = 0 TL0为,可以画出转速环的传递函数框图:
电机学习笔记4——PMSM矢量控制双环PI参数整定(1)_第2张图片

K i = K p τ i , ξ = 0.707 K_i=K_p\tau_i,\xi = 0.707 Ki=Kpτi,ξ=0.707,可得开环传递函数为:
G n o p e n ( s ) = K n ( τ n s + 1 ) s 2 ( 2 T P W M s + 1 ) K n = 45 K p p n ψ f J π τ n G_{nopen}(s)=\frac {K_n(\tau_ns+1)}{s^2(2T_{PWM}s+1)}\\ K_n = \frac {45K_pp_n\psi_f}{J\pi\tau_n} Gnopen(s)=s2(2TPWMs+1)Kn(τns+1)Kn=Jπτn45Kppnψf
通常将速度环按典型II型系统(3阶)进行校正,有:
τ n = h ∗ 2 T P W M K n = h + 1 2 h 2 ∗ ( 2 T P W M ) 2 \tau_n = h*2T_{PWM} \\ K_n = \frac {h+1}{2h^2*(2T_{PWM})^2} τn=h2TPWMKn=2h2(2TPWM)2h+1
无特殊要求时,一般取 h = 5 h = 5 h=5。于是可以得到速度环PI控制器的比例系数和积分系数:
K p = J π 150 ∗ p n ∗ ψ f ∗ T P W M K i = K p τ n = J π 1500 ∗ p n ∗ ψ f ∗ T P W M 2 K_p = \frac {J\pi}{150*p_n*\psi_f*T_{PWM}} \\ K_i = \frac {K_p}{\tau_n} = \frac {J\pi}{1500*p_n*\psi_f*T_{PWM}^2} \\ Kp=150pnψfTPWMJπKi=τnKp=1500pnψfTPWM2Jπ
式中 p n p_n pn为电机极对数, ψ f \psi_f ψf为转子永磁体磁链, J J J为转动惯量, T P W M T_{PWM} TPWM为逆变器开关周期。

总结:这种设计方法,忽略了q轴和d轴的耦合项,误差是很大的。经仿真验证,效果并不好。因此需要寻找更好的计算方案。

在设计参数时,参考了陈伯时老师的教材,也查阅了许多文献,发现在采用自动控制理论中的典型系统设计方法来设计PI控制器时,各家的计算结果几乎都不一样。细看下来,差别基本都是来源于对系统近似处理时采用了不同的近似方法,有的论文在前向通路中添加了一个延时环节,有的论文中逆变器环节的时间常数为逆变器开关周期的一半……因此,不求寻找正确答案,只求弄清楚原理。

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