极小化极大算法及Alpha-beta剪枝

初学者的个人笔记，不足之处还请指正，谢谢

极小化极大算法（minimax） L'algorithm minimax

极小化极大算法是一个深度优先的搜索算法，树形结构递归，一般在棋类等两方较量的游戏和程序中运用较多，如tic-tac-toe

它需要满足零总和博弈，比如在一场棋类比赛中，我方得分，对方失分，总分值永远为0或者某一常数

因此，我们为了获胜，即需要最大化我方利益（Max），最小化对方利益（Min）

伪代码如下（来自Wikipedia）：

function minimax(node, depth)
    if node is a terminal node or depth = 0
        return the heuristic value of node
    if the adversary is to play at node
        let α := +∞
        foreach child of node
            α := min(α, minimax(child, depth-1))
    else {we are to play at node}
        let α := -∞
        foreach child of node
            α := max(α, minimax(child, depth-1))
    return α

第一个if伪代码块指出了函数递归的两个出口，一是depth=0即到达了层数顶点，游戏结束，二是递归到了某一节点，程序无法再进行，或者已经有一方获胜。

第二个if伪代码块指出，当处于对方节点时，取最小值

否则else 位于我方节点时，取最大值

由于minimax算法是一个树形结构，所以总共需要计算n的x次方个结果，对于棋盘比较大的游戏来说，计算量成几何倍数增长，于是我们需要用到Alpha-beta剪枝，来优化这个算法

Alpha-beta剪枝 L'algorithme Alpha-beta

根据上文提到的，alpha-beta剪枝实际上就是minimax的升级版本

将minimax的搜索树，剪裁掉无意义无需搜索的枝干以提升搜索效率，减少工作量

伪代码如下（来自Wikipedia）：

01 function alphabeta(node, depth, α, β, maximizingPlayer) // node = 节点，depth = 深度，maximizingPlayer = 大分玩家
02      if depth = 0 or node是终端节点
03          return 节点的启发值
04      if maximizingPlayer
05          v := -∞
06          for 每个子节点
07              v := max(v, alphabeta(child, depth - 1, α, β, FALSE)) // child = 子节点
08              α := max(α, v)
09              if β ≤ α
10                  break // β裁剪
11          return v
12      else
13          v := ∞
14          for each 每个子节点
15              v := min(v, alphabeta(child, depth - 1, α, β, TRUE))
16              β := min(β, v)
17              if β ≤ α
18                  break // α裁剪
19          return v

由于我们的每一步都是为了预测上一层的走向，每一层自己为（max）α ，对手为（min）β

当树形结构到达 α >= β 的时候，无论接下来的子节点为几，都会小于等于β，因为子节点为对手取最小值min

而自己要取的是max，所以无论接下来出现的是几都不重要了

至此，我们就可以将右侧的树枝精减掉，不需要再耗费时间去计算

后续会补充python代码及手画推导