逆序对 - 树状数组求解 - 高级数据结构

树状数组是一种非常高级的数据结构，用于求解动态的区间和问题。静态的区间和可以用前缀和用O(n)的时间预处理，再以O(1)的时间单次求解。而树状数组，维护的就是动态的前缀和。也就是说，树状数组可以实现下面两个操作：

1、修改一个数，将一个位置上的数加上一个值

2、求一段数的和

这两个操作的时间复杂度都是O(log2n)，而且代码写起来非常简洁，用到了一些二进制的相应思想，比如lowbit（低位技术，求一个数二进制表示中最后一个1以及后面的所有0）。可以说，树状数组几乎是最好的维护区间和的工具。

下面就来步入正题吧。用树状数组如何求解逆序对这一经典问题？我们知道，逆序对的定义是对于序列a，其中所有的不重复的i和j，满足a[i]>a[j]并且i

【预备】

首先将序列离散化，将这些数按照原来的大小次序离散成从1到n的整数。比如说[1,5345,23465,24,5666]就将被离散化成[1,3,4,2]。这是一件很简单的事情，只需要一个快速排序或基数排序即可。时间复杂度大概是O(nlog2n)或O(n)。

【树状数组 - 应用】

然后维护一个树状数组，从后往前遍历，比如说现在遍历到第i个元素，这个元素的相应离散化后的值为x，那么我们只需要在[i,n]的区间里找有多少个在区间[1,x-1]的离散化后的相应数字。相应的，因为我们将序列离散化了，所以最多的值不会超过n。所以我们用一种计数排序的思想，在第x个位置加一即可。然后我们如果要查找已经出现的[1,x-1]的数字的总数，那我们就可以直接求[1,x-1]区间的前缀和即可，一个操作是O(log2n)，并将返回的结果加入到逆序对的个数总和之中。接着进行完这个操作之后，我们就可以将第x个位置的数加上1。最后，直接将逆序对的个数总和输出即可，这就是答案。

【总结】

其实用树状数组求逆序对的这个过程还是非常简单的，精髓其实就是那个计数排序！首先按大小离散化（离散化还有一个目的，那就是将整个树状数组的大小占用大大减少，不然的话如果输入是10^18的数，不离散化就绝对做不了了），接着用相应的计数排序思想求前缀和就可以了。