概率问题的解决办法

概率问题，是面试数据分析师，算法工程师必考之一。【以下是一些网页截图】

培训了那么多数据求职同学，发现大家普遍薄弱的是概率问题。
由于大多数的概率问题可以由几种不同的思路来解题，所以导致很多同学理解了这题，再思考另一题的时候又卡住了。
而且概率问题，不像曾经做过的project，可以提前做充分的准备。
概率问题，就像高考题目，你永远不知道面试官会问什么，
但是基本思路就这几种，只要融会贯通了，任何题目能可以迎刃而解。
这篇文章总结了几种概率面试问题，
重点是，我们从头到尾就只用同一种方法来解所有的问题！
这样你就不用担心在紧张的面试环节，思考多种不同解法，还把自己绕晕了。

问题一：扑克牌54张,平均分成2份,求这2份都有2张A的概率
求概率问题，就是求什么是分子，什么是分母
分母：
分析：54张牌，分成2份，每份应该27张
第一步：我们从54张牌取27张，作为第一份，就是C(54,27)
第二步：剩下的27张牌取27张，作为第二份，就是C(27,27)
这样分母就有了：
把第一步和第二步相乘，就是54张牌，随机平均分成2份的组合数量。
分母： C(54,27)*C(27,27)
分子：
一副牌有4张A，50张非A的牌。
为了保证两份都要有2张A，在挑第一份的时候，应该先在4张A里面挑2个A，50张非A的牌里挑25个非A。然后第二份就是在剩下的2个A里挑选2个，25个非A里面挑25张。
第一步：从4张A里挑2张A，50张非A里挑25张，C(4,2)*C(50,25)
第二步：从2张A里挑2张A，25张非A里挑25张，C(2,2)*C(25,25)
分子：C(4,2)*C(50,25)*C(2,2)*C(25,25)
所以概率是：
C(4,2)C(50,25)C(2,2)C(25,25) / C(54,27)(C27,27)
=(2713)/(5317)
这里经常有问题要问，为什么要把每个概率相乘呢？
分母为什么是 C(54,27)*C(27,27)
而不是加呢：C(54,27)+C(27,27)
简单的说，
如果完成一件事情需要N个步骤才能完成，而每一个步骤都有一定的概率（注意：每个步骤只是完成这个事情的一个部分），则完成整个事情的概率用的就是相乘，也是你说的分步；
如果完成一件事情有很多方法（注意，每个方法都能独立完成这个事情），又每个方法都有一定的概率，那么完成这个事情的概率就用相加，也是情况分类。
在分牌的时候，需要分完2份，才算是把这一件事情做完。所以用相乘。

问题2：一副扑克54张,等分成三份,2张王在同一个人手中的概率是多大?
我们采用问题1同样的步骤，由于54分3份，每份是18张。所以
分母：
第一步：54张先挑18张C(54,18)
第二步：剩下36张里挑18张C(36,18)
第三步：最后18张里挑18张C(18,18)
分子：
情况1：2张王在第一份
第一步：2张王里面挑2张，剩下52张非王里挑16张，共计18张C(2,2)C(52,16)
第二步：剩下36张，里面挑18张C(36,18)
第三步：最后18张里挑18张C(18,18)
情况2：2张王在第二份
第一步：50张非王里挑18张C(50,18)
第二步：2张王里面挑2张，剩下36张，里面挑18张 C(2,2)C(34,18)
第三步：最后18张里挑18张C(18,18)
情况3：2张王在第三份
第一步：52张非王里挑18张C(52,18)
第二步：剩下34张非王里面挑18张C(34,18)
第三步：2张王里面挑2张，剩下16张，里面挑18张 C(2,2)C(16,16)
这里和第一题不同的是，2张王可以在3个不同的份中出现。这里分类讨论了3种情况，每一种情况，都能把这件分牌的事情做好。所以我们这里应该把分类讨论的概率相加。
分子：(C2,2)(C52,16)(C36,18)(C18,18)+(C50,18)(C2,2)(C34,16)(C18,18)+(C52,18)(C34,18)(C2,2)(C16,16)
分母：C(54,27)(C27,27)
=17/53
细心的同学会发现，相加的这3种情况其实概率都一样，所以分子也可以写乘：
分子 3(C52,16)(C36,18)(C18,18)
分母：C(54,27)*(C27,27)
= 17/53

问题3： 54张扑克牌，除去两张大小王剩下52张扑克牌，把这52张牌，分成4份。问红桃A和黑桃A同时被一个人拿到的概率是多少？
52张牌分成4份，即每份13张
分母：
第一步：52张里挑13张C(52,13)
第二步：39张里挑13张C(39,13)
第三步：26张里挑13张C(26,13)
第四步：13张里挑13张C(13,13)
分子：
情况1：红桃A和黑桃A在第一份
第一步：红桃A和黑桃A挑出来，剩下50张里挑出11张 C(2,2)C(50,13)
第二步：剩下39张里挑出13张 C(39,13)
第三步：剩下26张里挑出13张 C(26,13)
第四步：剩下13张里挑出13张 C(13,13)
情况2：红桃A和黑桃A在第二份
第一步：50张(没有红桃A和黑桃A)里挑出13张 C(50,13)
第二步：预留的红桃A和黑桃A挑出来，剩下27张里挑出11张 C(2,2)C(37,11)
第三步：剩下26张里挑出13张 C(26,13)
第四步：剩下13张里挑出13张 C(13,13)
情况3：红桃A和黑桃A在第三份
第一步：50张(没有红桃A和黑桃A)里挑出13张 C(50,13)
第二步：剩下37张里挑出13张 C(37,13)
第三步：预留的红桃A和黑桃A挑出来，剩下24张里挑出11张 C(2,2)C(24,11)
第四步：剩下13张里挑出13张 C(13,13)
情况4：红桃A和黑桃A在第四份
第一步：50张(没有红桃A和黑桃A)里挑出13张 C(50,13)
第二步：剩下37张里挑出13张 C(37,13)
第三步：剩下24张里挑出13张 C(24,13)
第四步：预留的红桃A和黑桃A挑出来，剩下11张里挑出11张 C(2,2)C(11,11)
分子：
(C2,2)(C50,11)(C39,13)(C26,13)(C13,13)+(C50,13)C(2,2)C(37,11)(C26,13)(C13,13)+(C50,13)C(37,13)C(2,2)(C24,11)(C13,13)+(C50,13)C(37,13)C(24,13)(C2,2)(C11,11)
分母：
C(52,13)C(39,13)C(2613)C(1313)
同样的，我们发现这4种，每种概率是一样的，所以我们可以乘以4
分子：4C(50,11)*C(39,13)C(2613)C(1313)
分母：C(52,13)*C(39,13)C(2613)C(1313)

问题4: 一副扑克（52张，不含大小王），抽出两张牌，一红一黑（不考虑先后顺序）的概率是多少？
分母：
第一步: 在52张牌里面抽2张 C(52,2)
分子：
分析：已知红的黑的各一半，即26张。
情况1: 第一次抽红色，然后黑色：
第一步: 在预留的26张红的里抽1张红的C(26,1)
第二步: 在预留的26张黑的里抽1张黑的C(26,1)
情况2: 第一次抽黑色，然后红色：
第一步: 在预留的26张黑的里抽1张黑的C(26,1)
第二步: 在预留的26张红的里抽1张红的C(26,1)
注意：我们是不是发现题目说：不考虑先后顺序。 这样的情况我们就不需要情况2的分类讨论了。
分子：C(26,1)*C(26,1)
分母： C(52,2)
=26/51(分母好像应该是13)

问题5: 50人的班级，至少两人同一天生日的概率是多少
分析：我们把问题转化成如果50个学生的生日都不同的概率是什么？
分母：
第一步：第1位小朋友，可以在365天里任意选择一天 C(365,1)
第二步：第2位小朋友，也可以在365天里任意选择一天 C(365,1)
第三步：第3位小朋友，也可以在365天里任意选择一天 C(365,1)
…
第50步：第50位小朋友，也可以在365天里任意选择一天 C(365,1)
分子：
第一步：第1位小朋友，可以在365天里任意选择一天 C(365,1)
第二步：第2位小朋友，因为不可以和第1位小朋友一样生日，所以只能在剩下的364天里任意选择一天 C(364,1)
第三步：第3位小朋友，因为不可以和第1，2位小朋友一样生日，所以只能在剩下的363天里任意选择一天 C(363,1)
…
第50步：第50位小朋友，因为不可以和前1-49位小朋友一样生日，他只能在316天里任意选择一天 C(316,1)
分子：C(365,1)* C(364,1)C(363,1)…C(316,1)
分母：C(365,1) C(365,1)C(365,1)…*C(365,1)
= 0.03（0.03怎么一下子算出来的？？）
如果50个学生生日不同的概率是3%的话，那么至少有2位生日相同的概率就是 1-3%=97%。
是不是很惊讶，一个班50个学生，居然有97%的可能性有相同的生日！！

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