递归和分治思想的典型应用—汉诺塔问题
不管这个传说的可信度有多大，如果考虑一下把64片金片，由一根针上移到另一根针上，并且始终保持上小下大的顺序。这需要多少次移动呢?这里需要递归的方法。假设有n片，移动次数是f(n).显然f(1)=1,f(2)=3,f(3)=7，且f(k+1）=2*f(k)+1。此后不难证明f(n)=2^n-1。n=64时，
f（64）= 2^64-1=18446744073709551615
假如每秒钟一次，共需多长时间呢？一个平年365天有31536000 秒，闰年366天有31622400秒，平均每年31556952秒，计算一下，
18446744073709551615/31556952=584554049253.855年
这表明移完这些金片需要5845亿年以上，而地球存在至今不过45亿年，太阳系的预期寿命据说也就是数百亿年。真的过了5845亿年，不说太阳系和银河系，至少地球上的一切生命，连同梵塔、庙宇等，都早已经灰飞烟灭。
下面转入正题：如何利用程序，来表示汉诺塔问题的移动步骤呢？这里有64片金片，移来移去的，相信大家都和我一样，一会就晕了。但同时，我们很容易可以发现，64片金片移动过程中，出现了大量重复步骤。假设金片只有2片的话，相信大家都会移动。这个问题之所以变复杂了，就是因为N的规模变大了。我们在设计程序的时候，需要牢记一点，就是：复杂问题简单化。把一个有很多重复步骤的大问题，分解成一个没有重复步骤的小问题，先把小问题解决了，再扩大至整体，这就是分治思想的精髓。在这里，我们之所以不会移动金片是因为规模太大，64片，已超出了我们的思维能力。此时，你可能在心底幻想，如果只有2片金片就好了。
假设三根柱子分别为A、B、C，此时，在A上有2片金片(假设从小到大依次为1,2)。那么我们的解决步骤可以归结为如下：
1，先把A上1号金片移至B
2，再把A上2号金片移至C
3，再把B上1号金片移至C
OK，如果问题是这样的话，那我们就成功解决了。可问题是这里有64个金片，64个，太复杂了，怎么解决呢？注意：这里千万别陷入64片的误区，记得我们从小就学习将整体看做部分，将部分看做整体的逻辑思维，换言之，就是整体代换的原则。在汉诺塔问题的解决方法，就是整体代换的原则。将1-63号金片用T号金片整体代换，那么问题就变成和咱们刚才解决的一模一样了。此时，问题解决步骤描述如下：
1，先把A上T号金片移至B
2，再把A上64号金片移至C
3，再把B上T号金片移至C
Ok，看了上面的解决步骤，相信大家都有点眉目了，可还有个问题就是，T号金片，实际上是1-63号金片，那这63个金片又该如何从A移至B呢？敏感的同学肯定发现了，刚才是解决如何将64个金片从A移至C，现在的问题是如何解决将63个金片从A移至B。这就是典型的递归逻辑思维啊，转了一圈，又回到自己了。解决63个金片的移动步骤的方法还是采用64片的思维。把1-62号金片看做T，这样循环下去，最终就变成了如何将1-2号金片从A移至C。只有2片金片的话，问题的解决步骤，我们一开始就给出来了啊。到此，问题就解决了。
这就是递归和分治思想的精髓。问题规模太大了，并且里面包含很多重复性工作，那么我们就可以降低问题规模，先研究简单规模下，此类问题如何解决。即分而治之。简单问题解决了，再利用整体代换的原则，采用递归思想，这样就将复杂问题干掉了。在面对此类问题时，切忌不要去纠结于ABC之间，金片具体是怎么移动的，一定要有整体即部分、部分即整体的逻辑思维。有了这种思维，具体编码时，面对规模较大的问题，只需按逻辑思维将规模降低一个逻辑层次，之后利用递归思想，直至降低到我们显而易见的解决步骤为止。
附汉诺塔问题源码：
#include
void move(int,char,char,char);
int main()
{
printf("Please input the Tower of Hanoi's number:\n");
int m;
scanf("%d",&m);
move(m,'A','B','C');
}
/*
XYZ分别代表三根柱子
*/
void move(int m,char x,char y,char z)
{
if(m==1)
{
printf("%c->%c\n",x,z); //如果只有一个金片了，那么我们直接将其从X移至Z即可。
return;
}
move(m-1,x,z,y); //先将m-1个金片从X移至Y。此步骤即整体代换
printf("%c->%c\n",x,z);//每次递归时，我们总是将1号金片移至Z。
move(m-1,y,x,z); //再将整体代换的m-1个金片从Y移至Z
} 测试结果：
