【Gym - 102428F】Fabricating Sculptures （单峰计数dp）

题意

输入$n,m$，求底座长度为$n$，方块个数为$m$的不会发生积水的雕像的个数，答案模$10^9+7$。（$n,m\le 5000$）

$n=3,m=6$，左边为合法的方案，右边不合法。

题解

可以转化为要求方块要单峰。
通过这一题发现，单峰的计数问题可以从高度的层面入手考虑。因为每一层的方块个数是单调的，而且一定在上一层放置的方块上面。
设$dp[i][j]$表示已经放了$i$个方块，当前行的还有$n-j$个方块的方案数。
$dp[i][j]={\sum }_{k=0}^{j}dp[i-(n-j)][k]\ast (j-k+1)$
前缀和优化一下即可$O(n^2)$解决。

#include 

using namespace std;
typedef long long ll;
const int maxn = 5010;

ll dp[maxn][maxn], f[maxn][maxn], g[maxn][maxn];

const ll mod = 1e9 + 7;

int main() {
    int n, m;
    cin >> n >> m;
    dp[n][0] = 1;
    for(int i = 0; i <= n; i ++) {
        f[n][i] = f[n][i-1] + dp[n][i];
        g[n][i] = g[n][i-1] + dp[n][i] * (1 - i);
    }
    for(int i = n+1; i <= m; i ++){
        for(int j = 0; j <= n; j ++){
            if(i+j-n >= 0) dp[i][j] = (j * f[i+j-n][j] % mod + g[i+j-n][j]) % mod;
        }
        for(int j = 0; j <= n; j ++){
            f[i][j] = (f[i][j-1] + dp[i][j]) % mod;
            g[i][j] = (g[i][j-1] + dp[i][j] * (1 - j) % mod) % mod;
        }
    }
    ll res = 0;
    for(int i = 0; i <= n; i ++) res = (res + dp[m][i]) % mod;
    cout << (res + mod) % mod << endl;
    return 0;
}