从零开始学MATLAB（二）MATLAB矩阵处理

从零开始学MATLAB（二）MATLAB矩阵处理

1.特殊矩阵
（1）通用的特殊矩阵
zeros函数：产生全0矩阵，即零矩阵。
ones函数：产生全1矩阵，即幺矩阵。
eye函数：产生对角线为1的矩阵，当矩阵为方阵时，得到一个单位矩阵
rand函数：产生（0，1）区间均匀分布的随机矩阵。
randn函数：产生均值为0，方差为1的标准正态分布随机矩阵。
调用格式（以zeros函数为例）：
①zeros(m)：产生mm零矩阵
②zeros(m,n)：产生mn零矩阵
③zeros(size(A))：产生与矩阵A同样大小的零矩阵

（2）用于专门学科的特殊矩阵
①魔方（幻方）矩阵：每行、每列及主副对角线上各n个元素之和都相等，命令 magic(n)
②范德蒙矩阵：vander(V)，产生以向量V为基础的范德蒙矩阵。
③希尔伯特矩阵：H(I,j)=1/(i+j-1)

命令hilb(n)
④伴随矩阵：compan§，其中p是一个多项式的系数向量，高次幂系数排在前，低次幂系数排在后。
⑤帕斯卡矩阵：pascal(n)，（杨辉三角形旋转）将二次项系数依次填写在矩阵的左侧对角线上，然后提取左侧n行n列元素即得到n阶帕斯卡矩阵。（P(I,j)=P(i-1,j)+P(I,j-1)且P(I,1)=1,P(1,j)=1）
2.矩阵变换：对角阵、三角阵、矩阵的转置、矩阵的旋转、矩阵的翻转、矩阵求逆
（1）对角阵：
①提取矩阵的对角线元素：
diag(A)：提取矩阵A主对角线元素，产生一个列向量。
diag(A,k)：提取矩阵A第k条对角线元素，产生一个列向量。
②构造对角矩阵：
diag(V):以向量V为主对角线元素，产生对角矩阵。
diag(V,k):以向量V为第k条对角线元素，产生对角矩阵。
（2）三角阵：
①上三角矩阵：
triu(A)：提取矩阵A的主对角线及以上的元素。
triu(A,k)：提取矩阵A的第k条对角线及以上的元素。
②下三角矩阵：函数是tril，用法与triu函数完全相同。
（3）矩阵的转置：转置运算符是小数点后面接单引号（.’），共轭转置，其运算符是单引号（’），它在转置的基础上还要取每个数的复共轭。
（4）矩阵的旋转：rot90(A,k)，将矩阵A逆时针方向旋转90度的k倍，当k=1时可以省略。
（5）矩阵的翻转：
fliplr(A):对矩阵A实施左右翻转。
flipud(A):对矩阵A实施上下翻转。
（6）矩阵的求逆：inv(A)
3.矩阵求值：行列式、秩、迹、范数、条件数
（1）方阵的行列式：det(A)
（2）秩：rank(A)
（3）迹：trace(A)
（4）向量和矩阵范数：
向量的三种常用范数：
向量1-范数：向量元素的绝对值之和，norm(V,1)
向量2-范数：向量元素平方和的平方根，norm(V)或norm(V,2)
向量∞-范数：所有向量元素绝对值中的最大值，norm(V,inf)
矩阵的范数：
矩阵A的1-范数：矩阵列元素绝对值之和的最大值
矩阵A的2-范数：A’A矩阵的最大特征值的平方根
矩阵A的∞-范数：所有矩阵行元素绝对值之和的最大值
矩阵范数的函数调用格式与求向量的范数的函数完全相同。
（5）矩阵的条件数：矩阵A的条件数等于A的范数与A的逆矩阵的范数的乘积。条件数越接近1，矩阵的性能越好。
函数：cond(A,1),cond(A)或cond(A,2),cond(A,inf)
4.矩阵的特征值与特征向量
函数调用格式有两种：
E=eig(A):求矩阵A的全部特征值，构成向量E
[X,D]=eig(A)：求矩阵A的全部特征值，构成对角阵D，并产生矩阵X，X各列是相应的特征向量。
5.稀疏矩阵：零元素个数远多于其他元素个数
（1）矩阵存储方式：
①完全存储方式：按列存储
②稀疏存储方式：只存储矩阵的非零元素的值及其位置，即行号和列号。（注：矩阵元素的存储顺序并未改变，也是按列存储。）例如，

（2）稀疏存储方式的产生：
①完全存储方式与系数存储方式之间的转化
A=sparse(S):将矩阵S转化为稀疏存储方式的矩阵A
S=full(A)：将矩阵A转化为完全存储方式的矩阵S
②直接建立稀疏存储矩阵：
sparse函数的其他调用格式：
sparse(m,n)：生成一个mn的所有元素都是零的稀疏矩阵。
sparse(u,v,S):其中u、v、S是三个等长的向量。S是要建立的稀疏存储矩阵的非零元素，u(i)、v(i)分别是S(i)的行、列下标。
使用spconvert函数直接建立稀疏存储矩阵，调用格式为：B=spconvert(A)，A为一个m3或者m4的矩阵，每行表示一个非零元素，m是非零元素的个数，该行4个数分别表示元素所在行、元素所在列、实部、虚部（若均为实数，则无需第4列）
③带状稀疏矩阵的稀疏存储：
带状稀疏矩阵是指所有非零元素集中在对角线上的矩阵。
[B,d]=spdiags(A)：从带状稀疏矩阵A中提取全部非零对角线元素赋给矩阵B，这些非零对角线的位置组成向量d。
A=spdiags(B,d,m,n)：产生带状稀疏矩阵的稀疏存储矩阵A，m、n为原带状稀疏矩阵的行数和列数，矩阵B的第i列即为原带状稀疏矩阵的第i条非零对角线，向量d为原带状稀疏矩阵所有非零对角线的位置。
④单位矩阵的稀疏存储：
speye(m,n)返回一个mn的稀疏存储单位矩阵。
（注：当参与运算的数据对象不全是稀疏存储矩阵时，所得结果是完全存储形式。）