离散数学（10）——通路与回路、无向图与有向图的连通性、无向图的连通度

一、通路与回路

1、通路：

• 顶点与边的交替序列

2、起点, 终点, 通路长度

• 第一个点是起点，最后一个点是终点
• 通路长度 |Γ| = l

3、回路

• 首尾相连的通路，起点与终点是同一个点

4、简单(复杂、初级)通(回)路

• 简单通路: 没有重复边的通路
• 简单回路: 没有重复边的回路
• 复杂通路: 有重复边的通路
• 复杂回路: 有重复边的回路
• 初级通路(路径): 没有重复顶点的通路
• 初级回路(圈): 没有重复顶点的回路

5、通(回)路的表示

• 可以只用边的序列来表示通(回)路
• 简单图可以只用顶点的序列来表示通(回)路

6、圈的表示

• 画出的长度为l 的圈
  • 如果是非标定的, 则在同构意义下是唯一的
  • 如果是标定的(指定起点,终点), 则是l个不同的圈

7、周长

• G是含圈的无向简单图
• c(G)=最长圈的长度
• c(K_n)=n (n≥3) c(K_n,n)=2n

8、围长

• G是含圈的无向简单图
• g(G)=最短圈的长度
• g(K_n)=3 (n≥3), g(K_n,n)=4 (n≥2)

9、极大路径

• 在无向简单图中, 路径的两个端点不与路径本身以外的顶点相邻, 这样的路径称为极大路径
• 在有向图中, 路径起点的前驱,终点的后继,都在路径本身上

扩大路径法

• 任何一条路径,只要不是极大路径,则至少有一个端点与路径本身以外的顶点相邻, 则路径还可以扩大, 直到变成极大路径为止

二、无向图的连通性

1、连通

• 无向图G=, u~v ⟺ u与v之间有通路, 规定u~u
• 连通关系~是等价关系
  • 自反: u~u
  • 对称: u~v ⇒ v~u
  • 传递: u~v ∧ v~w ⇒ u~w
• 连通分支: G[V_i], (i=1,…,k)
  • 设 V/~ = { V_i | i=1,…,k }
  • 连通分支数: p(G) = |V/~| = k
• 连通图: p(G)=1; 非连通图(分离图): p(G)>1

2、距离、直径

• 距离：dG(u,v) = u,v之间短程线的长度(或∞)
• 直径：d(G) = max{ dG(u,v) | u,v∈V(G) }

3、距离函数

• 非负性: d(u,v)≥0, d(u,v)=0 ⟺ u=v
• 对称性: d(u,v) = d(v,u)
• Δ不等式: d(u,v) + d(v,w) ≥ d(u,w)
• 任何函数只要满足上述三条性质, 就可以当作距离函数使用

4、(双向)可达

• 有向图D=, u→v ⟺ 从u到v有(有向)通路
  • 规定u→u，可达关系是自反, 传递的
• 有向图D=, u↔v ⟺ u→v ∧ v→u
  • 双向可达关系是等价关系
  • 其等价类的导出子图称为强连通分支

5、单向连通

• 有向图的任何一对顶点之间至少单向可达

6、强连通

• 强连通(双向连通): 有向图的任何一对顶点之间都双向可达

7、有向图的连通分支

• 强连通分支: 极大强连通子图
• 单向连通分支: 极大单向连通子图
• 弱连通分支: 极大弱连通子图

三、无向图的连通度

1、点连通度、边连通度

• 点连通度：为了破坏连通性,至少需要删除多少个顶点?
• 边连通度：为了破坏连通性,至少需要删除多少条边?
• “破坏”连通性：
  • p(G-V’) > p(G)
  • p(G-E’) > p(G)
  • 连通分支数增加

2、点割集

• G=, ∅≠V’⊂V,

  • (1) p(G-V’)>p(G) （破坏连通性）
    (2) ∀ V’’⊂V’, p(G-V’’)=p(G) (极小性条件)

• 割点

  • v是割点 ⟺ {v}是割集

3、边割集

• G=, ∅≠E’⊂E
  • (1) p(G-E’)>p(G) （破坏连通性）
    (2) ∀E’’⊂E’, p(G-E’’)=p(G) (极小性条件)
• 割边 (桥)
  • (u,v)是割边 ⟺ {(u,v)}是边割集