偏序的问题&&CDQ分治

偏序，相信大家应该都听说过。
简单地说(不严谨的说)，偏序就是满足【自反性】【反对称性】【传递性】的关系。
那么偏序具体是什么呢，举个例子：有理数上的小于等于关系就是一个偏序关系。如果我们只将数进行两两对比，如果是一个偏序集中的元素。

（1） a<=a显然成立
（2）若a<=b且b<=a，那么a=b
（3）a<=b,，b<=c，那么 a<=c显然成立

以上三点分别对应自反性，反对称性和传递性。

刚才笔者给大家解释了什么叫做偏序，上述偏序也是一维偏序。
那么什么叫二维偏序呢，若，都是偏序，且(a1,b1)和(a2,b2)分别是两个点对，则该问题就是二位偏序啦。

那么如何解决偏序问题呢？
首先从最简单的一维偏序开始。
【问题1】 给定一个无序序列，求出序列中比a小的元素有多少个？
【分析】将序列排序后可很轻松的解决。

这就是最简单的一维偏序问题。

接下来我们看二维偏序。
【问题2】给定一个无序序列，求出其最长上升子序列。
【分析】肯定有读者会有疑问了，最长上升子序列是偏序问题我明白，可是它为什么是二维的呢？它当然是二维的，因为我们有一维是序列，还有另外一维是时间。我们要保证权值大小关系的同时，还需要保证出现的先后。所以最长上升子序列是一个二维的偏序问题。
【解答】我们先按时间维排序后，然后再看序列元素之间的大小关系。怎么按时间维排序呢？在序列中，它本来就是按时间维排好序的。然后怎么做呢？我们接着往下看，然后大家就能明白了。

给定一个序列 a【2 1 5 3 6 4 8 9 7】
我们新开一个数组，为tmp。
我把数组画在下面：
这是初始状态

a		2	1	5	3	6	4	8	9	7
下标	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
tmp

遍历元素a[1] = 2

a		2	1	5	3	6	4	8	9	7
下标	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
tmp			1

遍历元素a[2] = 1

a		2	1	5	3	6	4	8	9	7
下标	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
tmp		1	1

遍历元素a[3] = 5

a		2	1	5	3	6	4	8	9	7
下标	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
tmp		1	1			2

遍历元素a[4] = 3

a		2	1	5	3	6	4	8	9	7
下标	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
tmp		1	1	2		2

遍历元素a[5] = 6

a		2	1	5	3	6	4	8	9	7
下标	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
tmp		1	1	2		2	3

遍历元素a[6] = 4

a		2	1	5	3	6	4	8	9	7
下标	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
tmp		1	1	2	3	2	3

遍历元素a[7] = 8

a		2	1	5	3	6	4	8	9	7
下标	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
tmp		1	1	2	3	2	3		4

遍历元素a[8] = 9

a		2	1	5	3	6	4	8	9	7
下标	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
tmp		1	1	2	3	2	3		4	5

遍历元素a[9] = 7

a		2	1	5	3	6	4	8	9	7
下标	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
tmp		1	1	2	3	2	3	4	4	5

好了，至此，整个过程就算结束了(10个表格画了半天啊！)(骗你的，其实是复制的表格 )
我们来找规律吧！

我开玩笑的，我们来看解答过程。
我们一个一个遍历序列元素，在tmp中将该元素前面最大值记录下来，再加一，存进tmp[a[i]]中，表示在序列中a[i]前面有几个比他小。
于是我们就可以发现，下标就是一个时间维，我们将序列中小于它的并且时间小于它的放入tmp里面维护，tmp中的最大值就是最长上升子序列，其中tmp[a[i]]表示序列中从1到 i 的最长上升子序列是多少。

维护tmp的时候十分类似前缀和，所以我们用树状数组来维护。这样时间复杂度为O(nlogn)。
下面是代码：

#include 
using namespace std;
const int maxn = 1e5+7;
int sum[maxn];
int a[maxn];
int n;
void add(int p,int x)
{
	for(int i=p;i<=n;i+=(i & -i))
	{
		sum[i] = max(sum[i],x);
	} 
}
int query(int p)
{
	int ans = 0;
	for(int i=p;i;i-=(i & -i))
	{
		ans = max(ans,sum[i]);
	}
	return ans;
}
int main()
{
	scanf("%d",&n);
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		scanf("%d",a+i);
	}
	int ans = 0;
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		int t = query(a[i]-1)+1;
		ans = max(ans,t);
		add(a[i],t);
	}
	printf("%d\n",ans);
	return 0;
}

以上就是树状数组求LIS的算法啦！

接下来我们来看三维偏序问题。
【问题3】洛谷P3810陌上花开
【分析】这个题目虽说是模板题，可是还是和一般的模板题有一点区别的，这道题需要记录答案，而不是直接询问。
不过它终究还是个三维的偏序问题，这个就是一个很好理解的三维了，因为(x,y,z)总共三个维度嘛。那么这道题要怎么解决呢，我们需要一个新的知识，叫做CDQ分治。
我们将x排序后，我们只需要关心(y,z)的关系就可以了，我们对于y进行递归排序，然后归并排序，就可以保证y有序，然后我们在归并的时候将z加入树状数组，就可以统计出答案了。不过好像也可以不归并排序，在二维的时候继续CDQ分治降到一维，然后统计答案。

下面是代码：

#include 
using namespace std;
const int maxn = 2e5+7;
int n,m,k;
struct node
{
	int x,y,z;
	int w,ans;
};
node a[maxn],b[maxn];
int sum[maxn],cnt[maxn];
bool cmpx(node a,node b)
{
	if(a.x==b.x)
	{
		if(a.y==b.y) return a.z<b.z;
		return a.y<b.y;
	}
	return a.x<b.x;
}
bool cmpy(node a,node b)
{
	if(a.y==b.y) return a.z<b.z;
	return a.y<b.y;
}
void add(int p,int x)
{
	for(int i=p;i<=k;i+=(i & -i)) sum[i] += x;
}
int query(int p)
{
	int ans = 0;
	for(int i=p;i;i-=(i & -i)) ans += sum[i];
	return ans;
}
void cdq(int l,int r)
{
	if(l==r) return;
	int m = (l+r)/2;
	cdq(l,m);
	cdq(m+1,r);
	sort(a+l,a+1+m,cmpy);
	sort(a+1+m,a+1+r,cmpy);
	int i=m+1,j=l;
	for(;i<=r;i++)
	{
		while(a[j].y<=a[i].y && j<=m)
		{
			add(a[j].z,a[j].w);
			j++;
		}
		a[i].ans += query(a[i].z);
	}
	for(i=l;i<j;i++)
	{
		add(a[i].z,-a[i].w);
	}
}
int main()
{
	scanf("%d%d",&n,&k);
	m = 0;
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		scanf("%d%d%d",&b[i].x,&b[i].y,&b[i].z);
	}
	sort(b+1,b+1+n,cmpx);
	int c = 0;
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		c++;
		if(b[i].x!=b[i+1].x || b[i].y!=b[i+1].y || b[i].z!=b[i+1].z)
		{
			a[++m] = b[i];
			a[m].w = c;
			c = 0;
		}
	}
	cdq(1,m);
	for(int i=1;i<=m;i++)
	{
		cnt[a[i].ans+a[i].w-1] += a[i].w;
	}
	for(int i=0;i<n;i++) printf("%d\n",cnt[i]);
	return 0;
}

因为有重复的元素，所以我们在树状数组的时候加上的是重复元素的个数，而不是1。
最后统计答案的时候要算上相同元素内部的贡献，也就是ans+=w-1。如果不理解的话请看下面的例子：(1,1,1),(1,1,1),(1,1,1),(1,1,2)，我们在统计答案的过程中中间两个(1,1,1)被抹掉了，就变成了(1,1,1),(1,1,2)，然后答案就是ans = 1,我们需要将中间的两个(1,1,1)的贡献加回来，也就是ans += w-1了，然后cnt[ans]+=w就可以记录个数了。