多校第十场 HDU 3936 FIB Query（fibonacci 数列的性质 ，及Ologn 矩阵加速乘算法）

Fibonacci数列通项公式∴F(n)=(1/√5)*{[(1+√5)/2]^(n+1) - [(1-√5)/2]^(n+1)}

性质：

　　1.f(0)+f(1)+f(2)+…+f(n)=f(n+2)-1。 

　　2.f(1)+f(3)+f(5)+…+f(2n-1)=f(2n)。 

　　3.f(2)+f(4)+f(6)+…+f(2n) =f(2n+1)-1。 

　　4.[f(0)]^2+[f(1)]^2+…+[f(n)]^2=f(n)·f(n+1)。 

　　5.f(0)-f(1)+f(2)-…+(-1)^n·f(n)=(-1)^n·[f(n+1)-f(n)]+1。 

　　6.f(m+n-1)=f(m-1)·f(n-1)+f(m)·f(n)。 

        利用这一点，可以用程序编出时间复杂度仅为O（log n）的程序。 

　　7.[f(n)]^2=(-1)^(n-1)+f(n-1)·f(n+1)。 

　　8.f(2n-1)=[f(n)]^2-[f(n-2)]^2。 

　　9.3f(n)=f(n+2)+f(n-2)。 

　　10.f(2n-2m-2)[f(2n)+f(2n+2)]=f(2m+2)+f(4n-2m) [ n〉m≥-1,且n≥1] 

    11.f(2n+1)=[f(n)]^2+[f(n+1)]^2.

斐波那契数列的整除性与素数生成性

　　每3个数有且只有一个被2整除，

　　每4个数有且只有一个被3整除,

　　每5个数有且只有一个被5整除，

　　每6个数有且只有一个被8整除,

　　每7个数有且只有一个被13整除，

　　每8个数有且只有一个被21整除,

　　每9个数有且只有一个被34整除，

　　.......

　　我们看到第5、7、11、13、17、23位分别是素数：5，13，89，233，1597，28657（第19位不是）

斐波那契数列的个位数：一个60步的循环

　　11235,83145,94370,77415,61785.38190,

　　99875,27965,16730,33695,49325,72910…

本题题意：

本题可以利用性质4 和 6

 定义sum[i]=sigma(p[j]) 1<=j<=i .

有p[i]=f[2*i-1]^2+f[2*i]^2.

则由公式4可知sum[i]=f[2*i]*f[2*i+1].

之后直接求得sum[r]-sum[l-1]即可。

这是我第一次矩阵连乘 用的是预处理f[2^n].

HDU 跑了78ms 第11 估计前10个跑62的 都是贴的同一个模板吧  

#include 
#include 

typedef long long ll;
const ll mod=1000000007;
ll mtrx[60][2][2];

void debug (ll a[][2])
{
    printf("%lld  %lld\n%lld  %lld\n",a[0][0],a[0][1],a[1][0],a[1][1]);
}

void pre_pro()
{
    memset (mtrx , 0 , sizeof(mtrx));
    mtrx[0][0][0]=1;mtrx[0][0][1]=1;
    mtrx[0][1][0]=1;mtrx[0][1][1]=0;
    for (int t=0 ; t<60 ; ++t)
       for (int i=0 ; i<2 ; ++i)
         for (int j=0 ; j<2 ; ++j)
         {
             for (int k=0 ; k<2 ; ++k)
              mtrx[t+1][i][j]+=mtrx[t][i][k]*mtrx[t][k][j];
            mtrx[t+1][i][j]%=mod;
         }
}

ll fib (ll a)
{
    a--;
    ll mat[2][2]={1,0,0,1};
    ll tmp[2][2];
    for (int p=0 ; a ; a>>=1 , ++p)
    {
        if(!(a&1))continue;
        tmp[0][0]=mat[0][0];tmp[0][1]=mat[0][1];
        tmp[1][0]=mat[1][0];tmp[1][1]=mat[1][1];
        memset (mat, 0 , sizeof(mat));
        for (int i=0 ; i<2 ; ++i)
         for (int j=0 ; j<2 ; ++j)
         {
             for (int k=0 ; k<2 ; ++k)
                 mat[i][j]+=mtrx[p][i][k]*tmp[k][j];
             mat[i][j]%=mod;
         }
    }
    //debug (mat);
    return mat[0][0];
}

ll sum(ll a)
{
    if(a==0)return 0;
    else return fib(2*a)*fib(2*a+1)%mod;
}

int main ()
{
    pre_pro();
    int cas;
    //freopen ("in.in","r",stdin);
    //freopen ("out.txt","w",stdout);
    //for (int i=0 ; i<20 ; ++i) debug(mtrx[i]);
    scanf("%d",&cas);
    while (cas--)
    {
        ll l,r;
        scanf("%I64d%I64d",&l,&r);
        printf("%d\n",(sum(r)-sum(l-1)+mod)%mod);
    }
    return 0;
}