二叉树相关性质（更新中……）

二叉树的性质（持续更新中……）

1. 在二叉树的第i层至多有2^(i-1)个结点（i>=1)（参考满二叉树，数学归纳法证明）

2. 深度为k的二叉树至多有2^k-1个结点（k>=1）（满二叉树与等比数列求和）

二叉树的深度：

1. 一颗树只有一个节点，它的深度是1；

2. 根节点只有左子树而没有右子树，那么二叉树的深度应该是其左子树的深度加1；

3. 根节点只有右子树而没有左子树，那么二叉树的深度应该是其右树的深度加1；

4. 根节点既有左子树又有右子树，那么二叉树的深度应该是其左右子树的深度较大值加1

利用性质1可知每层最多有2^(k-1)个结点，有k层。

利用等比数列求和可得=> 1+2+4+……+2^(k-1) = 2^k-1.

深度为k时至少有k个结点

3. 对于一个二叉树T，如果其叶子结点为n0，度为2 的结点数为n2，则n0 = n2 + 1

证明：设总边数为S，节点总数为n，叶子节点数为n0,度为1的结点数为n1,度为2的结点数为n2

1. 总结点：n = n0 + n1 + n2

2. 总边数：S = n - 1 （除根节点外，其他节点都有其父结点所指向）

3. 总边数：S = n2 * 2 + n1 * 1 + n0 * 0 (度为2说明指向两条边，度为1指向1条边，叶子节点不指向。)

2 3 => 4. n = n2 * 2 + n1 + 1

1 4 => n0 = n2 + 1

4. 完全二叉树或者是满二叉树，按照从上到下，从左往右进行编号，那么设某一结点下标为i，如果 i = 1，则结点i是二叉树的根，无双亲，如果i > 1,则双亲是结点[i/2]（向下取整），如果2i > n,则 i 为叶子节点，无左孩子，否则左孩子是结点2i，如果2i + 1 > n，则结点i无右孩子，否则，其右孩子是结点2i + 1

5. 具有n个结点的完全二叉树的深度为k

   $$k=\lfloor lo{g}_{2}n\rfloor +1$$

对于完全二叉树而言，每行第一个结点下标为2^（当前层数 - 1）,所以完全二叉树结点最少时，深度为logn + 1，满二叉树时最后一个结点下标为2^(当前层数) - 1，当完全二叉树达到 满二叉树时，深度为log(n+1),对于该层而言，无论是满二叉树还是最底层只有一个结点的完全二叉树，他的结点下标处在[ 2^上层层数，2^当前层数 ),所有logn向下取整并加上1，得到的总是当前的深度。

6. n个节点的二叉树有f(n)种形态(Catalan数,太难不会证明qaq)

$$f(n)=\frac{(2n)!}{n!(n+1)!}$$

或者是
$$f(n)=C_{2n}^n-C_{2n}^{n-1}$$