红黑树、B树和B+树

B+树插入、删除和搜索动态化：https://www.cs.usfca.edu/~galles/visualization/BPlusTree.html

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几种树的主要区别：

• 红黑树为二叉自平衡搜索树，深度大，多用于内存排序；
• B树为多路搜索树，深度低，搜索数据时磁盘IO较少，多用于索引外存数据，只支持随机访问，不支持顺序访问；
• B+树是对B树的改进，内节点不保存数据地址指针（可保存更多关键字），内节点可看做为外节点的索引，所有数据地址存储在外节点，数据搜索效率一致。外节点依关键字组成顺序链表，支持区间搜索，且空间局部性好，缓存命中率高；

红黑树（Red Black Tree，RBT）

红黑树是一种自平衡二叉搜索树，通过在插入和删除时调整二叉树结构，保持二叉树深度平衡，提高查找效率。

红黑树的五点特性：

1. 每个节点的颜色是黑色或者红色；
2. 根节点为黑色；
3. 叶节点（NULL）是黑节点，实际不存在；
4. 红节点的子节点是黑节点；
5. 从一个节点到叶节点的路径上包含相同数目的黑节点，黑色平衡树；

特性5保证红黑树从根节点到叶节点的最长路径不大于最短路径的两倍，保证黑色平衡的特性。由于这一约束的存在，将插入节点的颜色标记为红色，能够尽可能避免自平衡，插入黑色节点必须做自平衡。红黑色通过旋转和变色保持自平衡！

红黑树的高度

定理1：含n个节点的红黑树的高度最多为$2{\log }_2(n+1)$.

定理1的逆否命题是：高度为$h$的红黑树，至少至少含$2^{h/2}-1$个节点。由特性5知，从根节点到叶节点的路径$x$中黑节点数不小于红节点数，路径$x$中黑节点数$bh(x)\ge h/2$，只需证明 高度为h的红黑树，至少含$2^{bh(x)}-1$个节点，使用数学归纳法证明：

• 当树高度为$h=0$时，命题显然成立；
• 当树高度为$h-1$时，且$h>0$，根节点至叶节点路径中黑高度至少为$bh(x)-1$，假设红黑树至少包含$2^{bh(x)-1}-1$个节点；
• 当树高度为$h$时，路径$x$中根节点的左右子树的黑高度至少为$bh(x)-1$，因此节点数至少为
  $$(2^{bh(x)-1}-1)+(2^{bh(x)-1}-1)+1=2^{bh(x)}-1$$
  得证.

红黑树的插入和删除

插入红色节点，插入场景（详见https://www.jianshu.com/p/e136ec79235c）：

B-树（Balanced Tree）

当数据足够小可以整驻内存时，使用红黑树等一些平衡树能够获得较好的查询性能，当数据较大时，数据存在外部磁盘，需要设计新的数据结构存储和索引数据。

索引顺序访问（Indexed sequential access method, ISAM） 对顺序和随机访问都具有良好的时间性能，ISAM方法中，磁盘被分为多个块，元素以升序方式存在各个块。

顺序访问时，块按序输入，块中m个元素按升序排列，搜索单元素的磁盘访问次数为1/m。随机访问时，维护一个索引，索引中存储每个块的最大关键字，索引关键字数与块数相同，如果每个块存储元素数m较大，则整个索引可以常驻内存，一次磁盘访问即可完成随机访问。

由于ISAM本质是一种数组描述方法，插入和删除会面临很大问题，如果在每个块预留一些空间，可以适当解决这些难题，但是顺序访问的代价提高了，而B树是一种适用于索引磁盘数据的数据结构。

B树是一种 多路搜索树，m阶/度B树 的特点：

• 根节点至少含2个孩子；
• 除根节点外的内部节点至少有(m+1)/2个孩子、至多m-1个孩子；
• 所有外部节点在同一层；

特殊地，二阶B树是满二叉树，三阶B树内部节点有2个或3个孩子。

B树的阶（节点元素个数）取决于磁盘块的大小和元素的大小，不同元素大小占用空间不同：

• 阶小于磁盘块元素个数，每次访问都是读/写一个块；
• 阶大于磁盘块个数，会带来多重磁盘访问，查询一个节点中的元素需要访问多次磁盘；

B树的高度

高度为h的m阶B树，令d=(m+1)/2，根节点至少有两个孩子，第2层的两个孩子至少有d个孩子，因此第3层至少有2d个节点，依次类推第4层至少有2d*d个节点，外部（第h+1层）至少有2d^(h-1)个节点，内部元素数等于外部节点数减1，因此内部节点数：
$$2d^{h-1}-1\le n\le m^h-1$$

根据m阶的限制，节点的上限很容易推得，可见，高度为5,200阶的B树，至少含2*10^8-1个元素。

B树的搜索和插入

B树搜索时，最多访问磁盘的次数等于B树的高度。

插入已经存在的key，需要替换key对应的value为新的value。当一个节点饱和时，需要以中间元素分裂节点，将中间元素插入父节点，再判断父节点是否满足，递归检查，

B+树

B+树 内部节点不存储关键字指向的数据地址，数据地址全部存储在叶节点，必须遍历到叶节点才能获得数据地址，所有数据的查询效率一致，查询稳定，而B树内部节点保存有关键字指向的数据地址，靠近根节点的数据查询效率较高。

B+树内节点不保存数值指针，内节点占用空间较小（增加了所有内节点读取到内存的可能），树的阶/度更大，深度更低，读取索引文件进行的IO次数也更小。外节点顺序排序，具备良好的空间局部性，缓存命中率高。

B+树内节点关键字数等于孩子指针数，指针指向包含当前关键字的孩子节点，因此 B+树各内节点关键字可能出现重复，B树内节点关键字数等于孩子指针数减一，指针指向大于或小于当前关键字的孩子节点，B树关键字不重复。

B+树内部节点相当于叶节点的索引，叶节点中的关键字组成有序链表，便于区间搜索和遍历，B+树搜索性能几乎等价于二分搜索。