如何理解矩阵的特征向量和特征值？

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矩阵是一个非常抽象的数学概念，很多同学都对其望而生畏。但是，如果能够具体的理解了内部含义，就如同打开了一扇新的大门。

本文主要讲的是特征向量（Eigenvector）和特征值（Eigenvalue）。

01 特征向量（Eigenvector）是什么？

基向量

我们一般研究数学，都是在直角坐标系中，这就造就了两个基向量：v（0,1）和 u（1,0）。

为了说明特征向量，我们先看一下矩阵A和向量B（1，-1）：

矩阵A

如果将A和B相乘，结果如下：

AB和2B

AB

矩阵实际上可以被看作为一个变换，AB实际上表达的意思是 向量B 通过矩阵A完成了一次变换，有可能只是拉伸，有可能是旋转，有可能两者都有。

2B

上图中，2B的理解就简单很多，是将向量B拉长2倍。

那么，特征向量的定义如下：

任意给定一个矩阵A，并不是对所有的向量B都能被A拉长（缩短）。凡是能被A拉长（缩短）的向量称为A的特征向量(Eigenvector)；拉长（缩短）量就为这个特征向量对应的特征值（Eigenvalue）。

上例中，B就是矩阵A的特征向量，2是特征值。

特征值的求法

02 怎么求矩阵的平方和多次方

矩阵A

还是矩阵A，如果让你求矩阵A的平方，你可能会觉得挺容易的。

 

但是，如果让你求A的100次方呢？

还有那么容易吗？

按照上面的方法，一点规律没有，只能硬着头皮算。

补充一个概念：对角矩阵

对角矩阵

对角矩阵，顾名思义，只有对角线上有值，其他位置都是0。为什么对角矩阵特殊，如上图，C的平方就是对角线上数的平方，多次方也一样。

那么，怎么才能将矩阵A转变成矩阵C呢？

这就用到特征值和特征向量了。

A的特征值

A有两个特征值，对应两个特征向量：（1,0）和（1，-1）。

如果我们将两个特征向量看作是一个新的坐标系的基向量，并组合成矩阵D：

 

我们来计算一下

 

如上图，成功的通过特征向量将A转变成了对角矩阵C。

A和B相似

03 求A的多次方

这下求A的多次方就方便多了：

 

由于C是一个对角矩阵，C的n阶矩阵就比较好运算。

有的同学会问，这些计算到底有什么用。下面举个例子。

比方说图片，图片其实是一个一个像素排列在一个矩阵中。

 

上图所有的像素点堆叠在图片大小的矩阵A中（不要光看美女）。当我们对成像要求并不高，并且需要保留基本的成像特征值的时候，就可以将特征值从大到小的排列，并保存在矩阵C中。C中斜对角线上的值就是 上述图像 成像的特征值。

打个比方，上图可能有100个从大到小的成像特征值，但是我们只取较大的50个，并且对图片进行处理，最后我们可以得到以下图片。

 

虽然不大清晰，但是主要特征并没有丢失。