生成函数学习笔记&心得

生成函数生成果，生成数下你和我。
生成函数太美妙，蒟蒻一看被难倒。
$\mathcal{B}y——\mathcal{C}halotto$

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生成函数

概念

*度娘定义：

生成函数又叫 母函数 ( 个人不太喜欢这个叫法 )，是组合数学中尤其是计数方面的一个重要理论和工具。
生成函数分为 普通型生成函数 和 指数型生成函数 两种，前者使用较多。形式上说，普通型生成函数用于解决多重集的组合问题，而指数型母函数用于解决多重集的排列问题。

生成函数的应用简单来说在于研究未知（通项）数列规律，用这种方法在给出递推式的情况下求出数列的通项，生成函数是推导 $Fibonacci$ 数列的通项公式方法之一，另外组合数学中的 $Catalan$ 数也可以通过生成函数的方法得到。

另外生成函数也广泛应用于编程与算法设计、分析上，运用这种数学方法往往对程序效率与速度有很大改进。

普通型生成函数

定义：

对于任意数列 $a_0,a_1,a_2,\dots ,a_n$ 用下面这个函数来表示这个数列：$$G(x)=\sum _{i=0}^{\infty }{a}_i{x}^i=a_0+a_{1}x+a_2{x}^2+a_3{x}^3+\cdots +a_n{x}^n\dots$$这个函数就叫做数列的 生成函数 ( $generatingfunction$ ) 。

指数型生成函数

定义：

对于任意数列 $h_0,h_1,h_2,\dots ,h_n$ 用下面这个函数来表示这个数列：$$G(x)=\sum _{i=0}^{\infty }{h}_i\frac{x^i}{i!}=h_0+h_1+h_{2}x+h_3\frac{x^2}{2!}+\cdots +h_n\frac{x^n}{n!}+\dots$$

$\mathcal{T}ips:$在研究生成函数时，我们都假设级数收敛，因为生成函数中的 $x$ 没有实际意义。

例子

我们先来考虑这样的一个问题：一个班上有四个 $MM$ ，现在要从其中选出 $n$ 个做自己的老婆，请问有多少种选法？ 答案很简单， $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{4}{n}\right)$ 对吧。也就是说从 $i=0$ 开始， 问题的答案分别是 $1,4,6,4,1,0,0,0,\dots$ 那么它的生成函数应该为 $G(x)=1+4x+6x^2+4x^3+x^4$ 。诶，这不就是二项式展开吗？ 于是就有 $G(x)=(1+x{)}^4$ 。

这里有个广义的推论： $(1+x{)}^k=(\genfrac{}{}{0ex}{}{k}{0})x^0+(\genfrac{}{}{0ex}{}{k}{1})x^1+\cdots +(\genfrac{}{}{0ex}{}{k}{k})x^k+\dots$ ，其中，广义的组合数 $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{k}{i}\right)=\frac{k(k-1)(k-2)\dots (k-i+1)}{i!}$ 且 $k$ 为 实数 。
举个例子： $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{4}{6}\right)=\frac{4\times 3\times 2\times 1\times 0\times (-1)}{6!}=0，\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{-1.4}{2}\right)=\frac{(-1.4)\times (-2.4)}{2!}=1.68$
这个推论就是经典的 牛顿二项式定理 。

接下来我们再来考虑一个更复杂的生成函数： 求出 $x_1+x_2+\cdots +x_k=n$ 有多少个非负整数解。这道题在 $Chty\_syq$ 的课件中有详细解答过。

把每组解的每个数加 $1$ ，就变成了 $x_1+x_2+\cdots +x_k=n+k$ 的正整数解的个数了，这时候我们就可以用 隔板法 来做： 把 $n+k$ 个东西排成一排，在 $n+k-1$ 个间隔中插入 $k-1$ 个 “隔板” ，所以答案就是 $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+k-1}{k-1}\right)=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+k-1}{n}\right)$ ，则它关于 $n$ 的生成函数是 $G(x)=(1-x{)}^{-k}$ 。

推导：
将 $(1-x{)}^{-k}$ 按照牛顿二项式展开后可以得到 $x^n$ 的系数恰好是 $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+k-1}{n}\right)$
因为展开后第n+1项： $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{-k}{n}\right)(-x{)}^n=[(-1{)}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+k-1}{n})][(-1{)}^n{x}^n]=(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+k-1}{n})x^n$

经典题目

1、求 Fibonacci 通项公式

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在接下来的讲解之前，我们还需要知道一个公式：$$\sum _{i=0}^{\infty }{x}^i=\frac{1}{1-x}$$这个公式在之前我已经证明过了，再证一遍：$$\begin{array}{rl}& 已知等比数列求和公式：\sum _{i=0}^n{x}^i=\frac{1-x^{n+1}}{1-x}\\ & \because -1<x<1\\ & \therefore \underset{n\to \infty }{\lim }{x}^{n+1}=0\\ & \therefore \sum _{i=0}^{\infty }{x}^i=\underset{n\to \infty }{\lim }\sum _{i=0}^n{x}^i=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1-x^{n+1}}{1-x}=\frac{1}{1-x}\end{array}$$证毕。

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已知 $Fibonacci$ 递推数列为：$$\begin{array}{rl}& F(n)=F(n-1)+F(n-2)(n⩾3)\\ & F_2=F_1=1\end{array}$$设它的生成函数为 $g(x)$ ，则 $g(x)$ 为：$$\begin{array}{rl}g(x)& =x+x^2+2x^3+3x^4+\dots \\ & =F_1+F_2{x}^2+F_3{x}^3+\dots \end{array}$$两边同时乘以 $x$：$$x\cdot g(x)=x^2+x^3+2x^4+3x^5+\dots$$用上式减下式可得：$$g(x)-x\cdot g(x)=x+x^3+x^4+2x^5+3x^6+\cdots =x+x^2\cdot g(x)$$解得， $g(x)=\frac{x}{1-x-x^2}$ 。

由于这个式子不是之前我们见过的 $x$ 成等比关系的式子，再根据这是个分式，于是我们可以把它裂项成等比数列无穷级数求和的式子，将下半部分因式分解可得：$$g(x)=\frac{x}{(1-\frac{1-\sqrt{5}}{2}x)(1-\frac{1+\sqrt{5}}{2}x)}$$再转变成和的形式：$$\begin{array}{rl}& 设g(x)=\frac{x}{(1-\frac{1-\sqrt{5}}{2}x)(1-\frac{1+\sqrt{5}}{2}x)}=\frac{a}{(1-\frac{1-\sqrt{5}}{2}x)}+\frac{b}{(1-\frac{1+\sqrt{5}}{2}x)}\\ & 通分一下得到，\\ & g(x)=\frac{(1-\frac{1+\sqrt{5}}{2}x)a+(1-\frac{1-\sqrt{5}}{2}x)b}{(1-\frac{1-\sqrt{5}}{2}x)(1-\frac{1+\sqrt{5}}{2}x)}\\ & \therefore (1-\frac{1+\sqrt{5}}{2}x)a+(1-\frac{1-\sqrt{5}}{2}x)b=x\\ & 又根据g(x)=0可以得到方程组：\\ & \{\begin{array}{ll}(1-\frac{1+\sqrt{5}}{2}x)a+(1-\frac{1-\sqrt{5}}{2}x)b=x& \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot ①\\ a+b=0& \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot ②\end{array}\\ & 将②带回到①中可以得到，a=-\frac{1}{\sqrt{5}}\\ & \therefore b=\frac{1}{\sqrt{5}}\\ & \Rightarrow g(x)=\frac{1}{\sqrt{5}}\frac{1}{(1-\frac{1+\sqrt{5}}{2}x)}-\frac{1}{\sqrt{5}}\frac{1}{(1-\frac{1-\sqrt{5}}{2}x)}\\ & 将其还原成数列展开得，\\ & g(x)=\frac{1}{\sqrt{5}}(\frac{1+\sqrt{5}}{2}x+(\frac{1+\sqrt{5}}{2}{)}^2{x}^2+\cdots +(\frac{1+\sqrt{5}}{2}{)}^n{x}^n+\dots )-\frac{1}{\sqrt{5}}(\frac{1-\sqrt{5}}{2}x+(\frac{1-\sqrt{5}}{2}{)}^2{x}^2+\cdots +(\frac{1-\sqrt{5}}{2}{)}^n{x}^n+\dots )\\ & g(x)=F_1+F_2{x}^2+F_3{x}^3+\cdots +F_n{x}^n+\dots \\ & 于是我们可以得到Fibonacci的通项公式：\\ & F_n=\frac{1}{\sqrt{5}}{\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)}^n-\frac{1}{\sqrt{5}}{\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)}^n\end{array}$$哎呦卧槽，这可把我码的累死了！！！