这篇笔记，主要记录花书第四章关于数值计算知识的回顾。在机器学习中常常需要对模型进行优化，例如找到损失函数的最小值和线性方程组的求解。其中介绍的梯度下降、牛顿方法、约束优化等都是非常常见的优化方法。
上溢和下溢
上溢:当大量级的书被近似为∞或者-∞时，发生上溢，进一步的运算会导致结果变成非数字。
下溢:当接近零的数被四舍五入之后为零时，发生下溢。
病态条件
条件指数（Conditioning）：条件指数市值函数相对于输入的微小变化而发生变化的快慢程度
病态矩阵（Poorly conditioned matrices）：当输入被轻微的变化而导致输出结果发生很大变化的一个矩阵，称为病态矩阵。下面举了一个栗子：
梯度下降优化
梯度下降算法（gradient descent）：简单的来说，梯度下降算法就是在f(x)导数的方向，每次移动一个足够小的一步，寻找局部的最小值的算法。是一种无约束优化算法。如下一个寻找梯度下降最小值的路径示意图：
最快下降的新的点为：
梯度下降的几个缺点：
1. 跟起始点的选择有关，不同的起始点可能会到达不同的局部最小值。
2. 步长的选择是关键，大了可能会跳过最小是，小了收敛速度很慢。
超越梯度：雅可比矩阵和海森矩阵
雅可比矩阵（Jacobian）:有时候我们需要计算输入和输出都为向量的函数的所有偏导数。包含这样偏导数的矩阵称为雅可比矩阵。具体表示如下：
海森矩阵（Hessian）: 一阶导数看单调性，二阶导数看凹凸性。有时候，我们可能会对二阶导数比较感兴趣。当我们的函数具有多维输入，二阶导数也有很多，我们可以对这些导数合并成一个矩阵，就是海森矩阵。具体表示如下：
从矩阵的定义上来看，海森矩阵等价于梯度的雅可比矩阵。
我们通过二阶导数预期一个梯度下降步骤能表现得多好。我们在低昂前点x(0)出做函数f(x)的近似二阶泰勒级数：
如果我们的学习率ε,那么新的x将会是x(0)-εx。代入上述，得：
通过计算，使得近似泰勒级数下降最多的最优步长为：
牛顿方法（Newton's method）：海森矩阵一个最主要的用途，就是牛顿方法。牛顿方法是一个基于二阶泰勒展开来近似x(0)附近的f(x)。同4.8类似，梯度展开表示。经过计算，得到函数临界点：
一阶优化算法（first-order optimization algorithms）:仅使用梯度信息优化的算法称为一阶优化算法，如梯度下降算法。
二阶优化算法（second-order optimization algorithms）：使用海森矩阵优化的算法称为二阶优化算法，如牛顿方法。
梯度下降算法和牛顿方法，在NG的视频中有详细的整个推导过程，有兴趣的童鞋可以去看一下。
约束优化
约束优化（constrained optimization）：有时候x的所有可能值的最大化、最小化的一个函数f(x)不是我们所希望的。相反，我们可能希望在x的某些集合S中找到f(x)的最大值或者最小值。称为约束优化。集合S中的x称为可行(feasible)点。
这里不使用书中的概念说明，引用 http://www.cnblogs.com/ooon/p/5721119.html中 更为直观的说明（有图有真相）。由于中直接复制文字、图片排版会发生混乱，这里贴了图，建议直接查看上述链接博文。
等式约束（equality constraint）:
不等式约束（inequality constraint）:
实例：线性最小二乘
我们希望找到下式的最小化x值
平方导数下来乘以2，正好与1/2抵消：
设步长ε，和容差δ是个小的正数，伪代码如下：
最小化同样的式子x值，但是收到如下约束：
很明显这是一个不等式约束条件下的优化问题。拉格朗日乘子式：
λ的选择必须使结果服从约束。我们可以关于λ进行梯度上升找到这个值。为了观察，我们可以对λ进行求偏导数。
观察可以看到，当x的范数超过1的时候，导数才是正数。迭代更新λ的值，知道x的范数具有正确的范数。
Q&A：
如果有兴趣相投的朋友，欢迎来http://www.jokls.com/提问或者解答其他小伙伴的提问。