2020牛客暑期多校训练营Harmony Pairs(数位DP)

Harmony Pairs

题目描述

输入描述:

输出描述:

示例1

输入

100

输出

967

题目大意

定义一个函数$S(n)$表示$n$的各位数之和。现要求在$1\sim n$之间有多少数对$(a,b)$满足$S(a)>S(b)$，并且$0\le a\le b\le n$。

分析

十分亮眼的是，$n\le 10^{100}$。又看到各位数之和，自然想到数位$dp$。这题主要是有两个数要进行数位$dp$，所以比较烦人。但是代码是短的

先考虑$dp$的定义，第一维肯定是$pos$表示第$pos$位，然后考虑两个数的$sum$，但是两个数各位的$sum$最大有$900$，$900\ast 900\ast 100...$这样的空间肯定是炸了啊，因此考虑压缩。

因为文中只要比较大小即可，所以我第二维只要存一下$a$和$b$的差就可以了。为了防止差为负数，要加1000的偏移量。

因此，$dp[pos][diff][lmta][lmtb]$表示$pos$位时，$a,b$的差为$diff$，$a$是否到极限，$b$是否到极限的满足题意的数对数目。

转移式见代码注释。

代码

#include
#define ll long long
using namespace std;
const int MAXN=110;
const int mod=1e9+7;
char N[MAXN];
int dp[MAXN][MAXN*20][2][2],n[MAXN];
int dfs(int pos,int diff,bool lmta,bool lmtb){
//	cerr<
	if(!pos) return diff>1000;//由于偏移，因此0变成1000
	if(~dp[pos][diff][lmta][lmtb]) return dp[pos][diff][lmta][lmtb];
	//记忆化
	int ret=0;
	for(int i=0;i<=(lmtb?n[pos]:9);i++){//枚举b的pos位，如果是极限，那么应当是n的pos位为极限
		for(int j=0;j<=(lmta?i:9);j++){//枚举a的pos位，同上
			ret=(ret+dfs(pos-1,diff+j-i,lmta&(j==i),lmtb&(i==n[pos])))%mod;
			//加上a减去b，若a>b则其值为正，并更新极限
		}
	}
	return dp[pos][diff][lmta][lmtb]=ret;//记忆化
}
int main()
{
	memset(dp,-1,sizeof(dp));//初始化-1
	scanf("%s",N);
	int len=strlen(N);
	for(int i=0;i<len;i++) n[len-i]=N[i]-'0';//字符串输入，塞到数组里。
	printf("%d\n",dfs(len,1000,1,1));//调用
}

END

难得，比较顺利地AC了一道$dp$。