Race to 1 Again 概率DP

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题意：给你一个数N，你可以等概率的对N除以它自身的约数，即N%X==0 ，N=N/X ,次此为一次操作

一直对N进行此操作，直到N==1，求操作的期望次数

解法：此题为经典概率dp,

dp[i] 定义为：对 i 进行操作数次，使之变为1的操作次数期望值

而dp[i] 的值，可通过 i的约数状态进行逆向操作转移得到，即设 i 的n个约数分别为X0 , X1 , X2 …… Xn

那么

末尾的+1解释：该方程的意思是从 约数X转移到 i ，此时就进行了一次操作

通过左右乘以n，化解方程得：

预处理，即可

 

以dp[2]为例：

2有1/2的概率由1乘上2得来 

也有1/2的概率由2乘上1得来

则加上各自概率乘以期望的值，由于此次操作一定发生则最后加上期望1

#include
using namespace std;
int t;
int n;
double dp[100005];
int main()
{
	
	for(int i=2;i<=100000;i++)
	{
		int cnt=0;
		double sum=0;
		for(int j=1;j<=sqrt(i);j++)
		{
			if(i%j==0)
			{
				cnt++;
				sum+=dp[j];
				if(i/j!=j)
				{
				sum+=dp[(i/j)];
				 cnt++;
				}
			}
		}		
		dp[i]=(sum+cnt)/(double)(cnt-1);
		sum+=dp[i];
	}
	int tt=1;
	scanf("%d",&t);
	while(t--)
	{
		scanf("%d",&n);
		printf("Case %d: %.10lf\n",tt++,dp[n]);
	}
}