Race to 1 Again 概率DP

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题意:给你一个数N,你可以等概率的对N除以它自身的约数,即N%X==0 ,N=N/X ,次此为一次操作

一直对N进行此操作,直到N==1,求操作的期望次数

解法:此题为经典概率dp,

dp[i] 定义为:对 i 进行操作数次,使之变为1的操作次数期望值

而dp[i] 的值,可通过 i的约数状态进行逆向操作转移得到,即设 i 的n个约数分别为X0 , X1 , X2 …… Xn

那么dp[ i ] = \frac{1}{n}(dp[X_{0}]+dp[X_{1}]......+dp[X_{n}])+1

末尾的+1解释:该方程的意思是从 约数X转移到 i ,此时就进行了一次操作

通过左右乘以n,化解方程得:dp[i]=\frac{(dp[X_{0}]+dp[X_{1}]......+dp[X_{n}])+n}{n-1}

预处理,即可

 

以dp[2]为例:

dp[2]=\frac{1}{2}dp[1]+\frac{1}{2}dp[2]+1

2有1/2的概率由1乘上2得来 

也有1/2的概率由2乘上1得来

则加上各自概率乘以期望的值,由于此次操作一定发生则最后加上期望1

#include
using namespace std;
int t;
int n;
double dp[100005];
int main()
{
	
	for(int i=2;i<=100000;i++)
	{
		int cnt=0;
		double sum=0;
		for(int j=1;j<=sqrt(i);j++)
		{
			if(i%j==0)
			{
				cnt++;
				sum+=dp[j];
				if(i/j!=j)
				{
				sum+=dp[(i/j)];
				 cnt++;
				}
			}
		}		
		dp[i]=(sum+cnt)/(double)(cnt-1);
		sum+=dp[i];
	}
	int tt=1;
	scanf("%d",&t);
	while(t--)
	{
		scanf("%d",&n);
		printf("Case %d: %.10lf\n",tt++,dp[n]);
	}
}

 

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