树状数组 区间更新

 树状数组天生用来动态维护数组前缀和，其特点是每次更新一个元素的值，查询只能查数组的前缀和，

但这个题目求的是某一区间的数组和，而且要支持批量更新某一区间内元素的值，怎么办呢？实际上，

还是可以把问题转化为求数组的前缀和。

 

    首先，看更新操作update(s, t, d)把区间A[s]...A[t]都增加d，我们引入一个数组delta[i]，表示

A[i]...A[n]的共同增量，n是数组的大小。那么update操作可以转化为：

1）令delta[s] = delta[s] + d，表示将A[s]...A[n]同时增加d，但这样A[t+1]...A[n]就多加了d，所以

2）再令delta[t+1] = delta[t+1] - d，表示将A[t+1]...A[n]同时减d

 

    然后来看查询操作query(s, t)，求A[s]...A[t]的区间和，转化为求前缀和，设sum[i] = A[1]+...+A[i]，则

                            A[s]+...+A[t] = sum[t] - sum[s-1]，

那么前缀和sum[x]又如何求呢？它由两部分组成，一是数组的原始和，二是该区间内的累计增量和, 把数组A的原始

值保存在数组org中，并且delta[i]对sum[x]的贡献值为delta[i]*(x+1-i)，那么

                            sum[x] = org[1]+...+org[x] + delta[1]*x + delta[2]*(x-1) + delta[3]*(x-2)+...+delta[x]*1

                                         = org[1]+...+org[x] + segma(delta[i]*(x+1-i))

                                         = segma(org[i]) + (x+1)*segma(delta[i]) - segma(delta[i]*i)，1 <= i <= x

这其实就是三个数组org[i], delta[i]和delta[i]*i的前缀和，org[i]的前缀和保持不变，事先就可以求出来，delta[i]和

delta[i]*i的前缀和是不断变化的，可以用两个树状数组来维护。

poj3469 题目链接：http://poj.org/problem?id=3468

#include 
#include 
#include 
using namespace std;
#define maxn 100005
#define lowbit(x)   (x&-x)
#define  LL  __int64
LL a[maxn], b[maxn], c[maxn], sum[maxn], n;
void Add(LL a[], LL x, LL d)
{
      while (x<=n)
      {
            a[x] += d;
            x += lowbit(x);
      }
}
LL Sum(LL a[], LL x)
{
      LL sum = 0;
      while (x>0)
      {
            sum += a[x];
            x -= lowbit(x);
      }
      return sum;
}
int main()
{
      LL m, s, t, val;
      char str[3];
      while (~scanf("%I64d%I64d", &n, &m))
      {
            for (int i=1; i<=n; ++i)
                  scanf("%I64d", &a[i]);
            sum[0] = 0;
            for (int i=1; i<=n; ++i)
                  sum[i] = sum[i-1] + a[i];
            memset(b, 0, sizeof(b));
            memset(c, 0, sizeof(c));
            while (m--)
            {
                  scanf("%s", str);
                  if (str[0]=='Q')
                  {
                        scanf("%I64d%I64d", &s, &t);
                        LL sum_a = sum[t] + (t+1)*Sum(b, t) - Sum(c, t);
                        LL sum_b = sum[s-1] + s*Sum(b, s-1) - Sum(c, s-1);
                        printf("%I64d\n", sum_a-sum_b);
                  }
                  else
                  {
                        scanf("%I64d%I64d%I64d", &s, &t, &val);
                        Add(b, s, val);
                        Add(b, t+1, -val);
                        Add(c, s, s*val);
                        Add(c, t+1, -val*(t+1));
                  }
            }
      }
      return 0;
}