POJ 2635 The Embarrassed Cryptographer【题解报告|高精度取模，素数筛法】

问题描述

给定一个大数K，K是两个大素数的乘积的值。

再给定一个int内的数L

问这两个大素数中最小的一个是否小于L，如果小于则输出这个素数。

解题思路

首先对题目的插图表示无语。。。

高精度求模+同余模定理，解题步骤：

1、 Char格式读入K。把K转成千进制Kt，同时变为int型。

把数字往大进制转换能够加快运算效率。若用十进制则耗费很多时间，会TLE。

千进制的性质与十进制相似。

例如，把 $K=1234567890$ 转成千进制，就变成了： $Kt=[1][234][567][890]$ 。

为了方便处理，我的程序是按“局部有序，全局倒序”模式存放 $Kt$

即 $Kt=[890][567][234][1]$ (一个中括号代表一个数组元素)

2、 素数打表，把10^6内的素数全部预打表，在求模时则枚举到小于L为止。

注意打表不能只打到100W，要保证素数表中最大的素数必须大于 $10^6$，否则当 $L=100W$ 且K为 $GOOD$ 时，会因为数组越界而RE，这是因为越界后prime都是负无穷的数，枚举的 $while(prime[pMin]<L)$循环会陷入死循环

3、 高精度求模。

主要利用Kt数组和同余模定理。

例如要验证$123$是否被3整除，只需求模 $124$

但当123是一个大数时，就不能直接求，只能通过同余模定理对大数“分块”间接求模

具体做法是：

先求 $1$
再求 $(1\ast 10+2)$
再求 $(0\ast 10+4)$
那么就间接得到 $124$，这是显然正确的

而且不难发现， $(1\ast 10+2)\ast 10+4=124$

这是在10进制下的做法，千进制也同理，$\ast 10$改为 $\ast 1000$ 就可以了，至于这里为什么$\ast 1000$而不是$\ast 10000$，因为L的大小$10^6$，此时如果乘10000就不能用int型表示了。

#define ll long long
#define inf 0x3f3f3f3f
#define vec vector
#define P pair
#define MAX 1000005

string K;
int L;
bool isp[MAX];
vec v, pri;//每个v存储着一个千位数

//检查K是否能够整除n
bool check(int n) {
	int mod = 0;
	for (int i = 0; i < v.size(); i++) {
		mod = (mod * 1000 + v[i]) % n;
	}
	return mod == 0;
}

int main() {
	fill(isp, isp + MAX, 1);
	isp[0] = isp[1] = 0;
	for (int i = 2; i < MAX; i++) {
		if (isp[i]) {
			pri.push_back(i);
			for (int j = i * 2; j < MAX; j += i)
				isp[j] = 0;
		}
	}
	while (cin >> K >> L && K != "0") {
		v.clear();
		while (K.size() > 0) {
			int t = K.size();
			if (t > 3)v.push_back(atoi(K.substr(t - 3).c_str())), K.erase(t - 3, 3);
			else v.push_back(atoi(K.c_str())), K.clear();
		}
		reverse(v.begin(), v.end());//高位在前

		int id = lower_bound(pri.begin(), pri.end(), L) - pri.begin(), sign = 1, i;
		for (i = 0; i < id && sign; i++) {
			int n = pri[i];
			if (check(n)) { sign = 0; break; }
		}
		if (sign)cout << "GOOD" << endl;
		else cout << "BAD " << pri[i] << endl;
	}
}