高数笔记1——数列的极限

众所周知，极限的严谨定义是很蛋~疼的：

设为一数列，如果，对于，总存在正整数，使当时，不等式

恒成立，那么称常数是数列的极限，或者称数列收敛于，记为

或

（摘编自同济大学数学系高等数学课本）
实际上，这段话的思想和我们平时讲的“趋近于”是一致的，比如，我们都知道对于数列，在时，数列就无限趋近于：

但是，“趋近于”这种语言表述是不严谨、不确切的（与此有关的一些事件可以参考 第二次数学危机的相关资料）。而严谨的定义就是换成确切的说法。首先我们可以这样理解“趋近于”：

无穷小

对于任意给定的很小的数，总能找到一个数，使（到的距离小于到的距离）。

这仍然不是我们想要的，但是它已经是确切的说法了。上面的定义就是采用的这种思想来表述的“趋近于”。即我们找一个很小的正数，无论它多么小，我们总能找到一组，让这一组到它的极限的距离（假设就是它的极限）比更小。这样就得到了上面的：

再考虑数列的性质：

从开始，，……以此类推，可以一直到无穷大。它的左侧显然是“封闭”的，所以我们只考虑数列右侧，“趋于”无穷大时的极限。

对于下图，显然我们不会说是它在时的极限：

而对于下图，我们才会说是它在时的极限：

对于数列同理。只有当随着增大时，距离越来越小，我们才能说时在时的极限。也就是说， 越大，离越近( 越小)
这样，我们就得到了定义的前半部分：
总存在一个正整数，当大于这个数时，所有的到（也就是它的极限）的距离都小于
也就是：
对于，总存在正整数，使当时，不等式

恒成立

把以上内容整合起来，就得到了完整的定义：
设为一数列，如果存在常数，对于任意给定的正数（不论它多么小），总存在正整数，使得当时，不等式

都成立，那么就称常数是数列的极限，或者称数列收敛于，记为

或

多说一句，对于像这样上下震荡的数列，各项到轴的距离也是随的增大而减小的，这样的数列的极限以上定义同样适用。