四阶RC低通滤波器推导及matlab仿真

RC电路原理推导

因为最近有做一些RC滤波电路的东西，算是将电路知识复习了下，也算是做一些整理，并且将推倒的结果在matlab上进行仿真实验，以验证其正确性，下面给出具体的过程

四阶RC低通滤波电路

四阶RC低通滤波电路如下图所示

对应系统的传递函数的表达式如下$$\frac{U_i-U_1}{R}=\frac{U_1-U_2}{R}+\frac{U_1}{1/SC}$$
$$\frac{U_1-U_2}{R}=\frac{U_2-U_3}{R}+\frac{U_2}{1/SC}$$
$$\frac{U_2-U_3}{R}=\frac{U_3-U_o}{R}+\frac{U_3}{1/SC}$$
$$\frac{U_3-U_o}{R}=\frac{U_o}{1/SC}$$
由上面四个等式就可以求得$U_o$与$U_i$之间的关系，也即可以求得传递函数$\frac{U_o}{U_i}$
整理上式可得
$$\frac{U_o}{U_i}=\frac{1}{(SCR{)}^4+7(SCR{)}^3+15(SCR{)}^2+10SCR+1}$$
对其进行离散化处理$$S=\frac{1-z^{-1}}{T}$$
可得$$Y_n=A_1{Y}_{n-1}+A_2{Y}_{n-2}+A_3{Y}_{n-3}+A_4{Y}_{n-4}+B{X}_n$$其中
$$A_1=\frac{4(CR{)}^4+21(CR{)}^3+30(CRT{)}^2+10CR{T}^3}{(CR{)}^4+7(CR{)}^{3}T+15(CRT{)}^2+10CR{T}^3+T^4}$$$$A_2=\frac{-6(CR{)}^4-21(CR{)}^3-15(CRT{)}^2}{(CR{)}^4+7(CR{)}^{3}T+15(CRT{)}^2+10CR{T}^3+T^4}$$$$A_3=\frac{4(CR{)}^4+7(CR{)}^{3}T}{(CR{)}^4+7(CR{)}^{3}T+15(CRT{)}^2+10CR{T}^3+T^4}$$$$A_4=\frac{-(CR{)}^4}{(CR{)}^4+7(CR{)}^{3}T+15(CRT{)}^2+10CR{T}^3+T^4}$$$$B=\frac{T^4}{(CR{)}^4+7(CR{)}^{3}T+15(CRT{)}^2+10CR{T}^3+T^4}$$

matlab仿真

为了验证下结果，我们在matlab上做些仿真分析实验，实验代码如下

clear,clc
 t = 0:0.001:10;
Data =  0.5*sin(2*pi*t) +0.2*sin(2*pi*89*t);
plot( Data );
title('original data');

Tao=0.0002;
T=0.0001;
T_2=T*T;
T_3=T*T_2;
T_4=T_2*T_2;
Tao_2=Tao*Tao;
Tao_3=Tao_2*Tao;
Tao_4=Tao_2*Tao_2;

LowPass_4=Tao_4+7*Tao_3*T+15*Tao_2*T_2+10*Tao*T_3+T_4;
a_n_1=4*Tao_4+21*Tao_3*T+30*T_2*Tao_2+10*Tao*T_3;
a_n_2=-6*Tao_4-21*Tao_3*T-15*T_2*Tao_2;
a_n_3=4*Tao_4+7*Tao_3*T;
a_n_4=-Tao_4;

T = 0.001;%微分时间
R = 100000;%电路电阻
C = 0.1;%滤波电容

Data2 = zeros( size( Data ) );
Data2( 1 ) = Data( 1 );
Data2( 2 ) = Data( 2 );
Data2( 3 ) = Data( 3 );
Data2( 4 ) = Data( 4 );
[ H V ] = size( Data );
for i =5:V
  Data2( i )=(a_n_1/LowPass_4)*Data2( i - 1)+(a_n_2/LowPass_4)*Data2( i - 2)+(a_n_3/LowPass_4)*Data2( i - 3)+(a_n_4/LowPass_4)*Data2( i - 4)+(T_4/LowPass_4)* Data( i ); 
end
figure
plot(Data2);

按照思路，这里输入一个高频+低频的输入信号Data理论上我们应该可以将高频的过滤掉，只留下低频的，实验结果如下
这里我们看到，实验结果与我们预期一致！验证了算法的有效性。
这里有之前做的一阶，二阶RC滤波的资料
[1]:https://blog.csdn.net/zhuhui4893/article/details/96476291