2020牛客暑期多校训练营第六场Grid Coloring

Grid Coloring

原题请看这里

题目描述：

$Roundgod$绘制了一个包含$n\ast n$格子的图，他可以用$k$种颜色，对每一条边进行染色，但有一些限制：

1. 每种颜色必须出现相同次数
2. 图上不能有单色环
3. 每一行和每一列，至少包含$2$种颜色。

输入描述：

输入包含多个测试用例。 输入的第一行包含一个整数$T$ $($ $1$ $\le$ $T$ $\le$ $100$ $)$在接下来的$T$行中，每行包含两个整数$n$，$k$ $($ $1$ $\le$ $n$ $\le$ $200$,$1$ $\le$ $k$ $\le$ $2(n+1)n)$,描述一个测试用例。

输出描述：

对于每个测试用例，如果没有解决方案，请输出$-1$。否则，输出$2(n+1)$行。 对于前$n+1$行，每行包含$n$个整数，表示每条水平线上的边缘颜色;对于后$n+1$行，每行包含$n$个整数，表示每条垂直线上的边缘颜色。

样例输入：

2
2 3
2 5

样例输出：

1 2
3 1
3 2
1 3
2 1
2 3
-1

思路：

首先，我们可以排除三种无解的情况：$k=1，n=1，2n(n+1)$ $mod$ $k!=0$
然后我们就按照如下方式对图进行标号：

所以我们的标号方式是：自顶向下分别给边按照$1$到$n$的顺序标号（如上图），然后我们将颜色$1$到$k$按照顺序轮流放到这些边上。
1.对于每一个$1\ast 1$的小环，两条纵边必定是相邻的序号，所以染的颜色必然不同
2.对于任意一个$a(a+b),b>0$的环，横向边必定有相邻序号，所以染的颜色必然不同，由此又可以证明所有的横向边都是异色的
3.对于任意一个$(a+b)a,b>0$的环，如果他的横向边长为1，那么他就有相邻的纵向边，如果他的横向边$>1$那么他就有相邻横向边
所以任意一个环和横边均异色。
然后观察上图，发现：任意两条相邻纵向边的序号差必定为$2n+1$
推理到这一步，我们只要证明任意两条相邻纵向边必定异色即可，即$gcd(k,2n+1)=1$，也就是$gcd(2n(n+1),2n+1)=1$
证明：
$gcd(2n(n+1),2n+1)=1$
$\leftrightarrow$ $gcd(2n(n+1)-n(2n+1),2n+1)=1$
$\leftrightarrow$ $gcd(n,2n+1-n)=1$ $\leftrightarrow$ $gcd(n,n+1)=1$
得证。
我还真不信如此复杂的推理得出的代码竟是如此简便…

$AC$ $Code$：

#include
using namespace std;
const int MAXN=205;
int a[MAXN][MAXN],b[MAXN][MAXN],T,n,k,t;
int main(){
    scanf("%d",&T);
    while(T--){
    	t=0;
        scanf("%d%d",&n,&k);
        if(n==1|| k==1||(2*n*(n+1))%k){
            puts("-1");
            continue;
        }
        for(int i=0;i<n;i++){
            for(int j=0;j<n;j++){
				t=t%k+1;
				a[i][j]=t;
			}
            for(int j=0;j<=n;j++){
				t=t%k+1;
				b[j][i]=t;
			}
        }
        for(int i=0;i<n;i++){
			t=t%k+1;
			a[n][i]=t;
		}
        for(int i=0;i<=n;i++){
            for(int j=0;j<n;j++)
                printf("%d ",a[i][j]);
            puts("");
        }
        for(int i=0;i<=n;i++){
            for(int j=0;j<n;j++)
                printf("%d ",b[i][j]);
            puts("");
        }
    }
}