机器学习(十五)SVD(特征值分解和奇异值分解的区别)

首先从意义上理解：

数学解释：https://blog.csdn.net/u010099080/article/details/68060274

相关概念

参考自维基百科。

• 正交矩阵：若一个方阵其行与列皆为正交的单位向量，则该矩阵为正交矩阵，且该矩阵的转置和其逆相等。两个向量正交的意思是两个向量的内积为 0
• 正定矩阵：如果对于所有的非零实系数向量 zz，都有 zTAz>0zTAz>0，则称矩阵 AA 是正定的。正定矩阵的行列式必然大于 0， 所有特征值也必然 > 0。相对应的，半正定矩阵的行列式必然 ≥ 0。

作者：赵文和
链接：https://www.zhihu.com/question/19666954/answer/54788626
来源：知乎
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首先，矩阵可以认为是一种线性变换，而且这种线性变换的作用效果与基的选择有关。

以Ax = b为例，x是m维向量，b是n维向量，m,n可以相等也可以不相等，表示矩阵可以将一个向量线性变换到另一个向量，这样一个线性变换的作用可以包含旋转、缩放和投影三种类型的效应。

奇异值分解正是对线性变换这三种效应的一个析构。
A=，和是两组正交单位向量，是对角阵，表示奇异值，它表示我们找到了和这样两组基，A矩阵的作用是将一个向量从这组正交基向量的空间旋转到这组正交基向量空间，并对每个方向进行了一定的缩放，缩放因子就是各个奇异值。如果维度比大，则表示还进行了投影。可以说奇异值分解将一个矩阵原本混合在一起的三种作用效果，分解出来了。

而特征值分解其实是对旋转缩放两种效应的归并。（有投影效应的矩阵不是方阵，没有特征值）
特征值，特征向量由Ax=x得到，它表示如果一个向量v处于A的特征向量方向，那么Av对v的线性变换作用只是一个缩放。也就是说，求特征向量和特征值的过程，我们找到了这样一组基，在这组基下，矩阵的作用效果仅仅是存粹的缩放。对于实对称矩阵，特征向量正交，我们可以将特征向量式子写成，这样就和奇异值分解类似了，就是A矩阵将一个向量从x这组基的空间旋转到x这组基的空间，并在每个方向进行了缩放，由于前后都是x，就是没有旋转或者理解为旋转了0度。

总结一下，特征值分解和奇异值分解都是给一个矩阵(线性变换)找一组特殊的基，特征值分解找到了特征向量这组基，在这组基下该线性变换只有缩放效果。而奇异值分解则是找到另一组基，这组基下线性变换的旋转、缩放、投影三种功能独立地展示出来了。我感觉特征值分解其实是一种找特殊角度，让旋转效果不显露出来，所以并不是所有矩阵都能找到这样巧妙的角度。仅有缩放效果，表示、计算的时候都更方便，这样的基很多时候不再正交了，又限制了一些应用。

链接：奇异值分解

链接：https://blog.csdn.net/Dark_Scope/article/details/53150883

一开始说到隐约记得当时时间PCA的时候用到了SVD，但通过上面的推到我们发现需要的是特征值分解，这又是怎么回事呢？ 
首先来看SVD的解释：奇异值分解

X=UΣV∗,X=UΣV∗, 
其中U是m×m阶酉矩阵；Σ是m×n阶非负实数对角矩阵；而V*，即V的共轭转置，是n×n阶酉矩阵。这样的分解就称作X的奇异值分解

并且：

在矩阵M的奇异值分解中 
X=UΣV∗,X=UΣV∗, 
1. VV的列（columns）组成一套对 XX的正交”输入”或”分析”的基向量。这些向量是 XTXXTX的特征向量。 
2. UU的列（columns）组成一套对 XX的正交”输出”的基向量。这些向量是XXTXXT的特征向量。 
3. ΣΣ对角线上的元素是奇异值，可视为是在输入与输出间进行的标量的”膨胀控制”。这些是XXTXXT及XTXXTX的特征值的非零平方根，并与U和V的行向量相对应。

特征值用来描述方阵，可看做是从一个空间到自身的映射，这也表现在了名字eigenvalue中。奇异值可以描述长方阵或奇异矩阵，可看做是从一个空间到另一个空间的映射。

特征值和奇异值都可用于分解矩阵，分解式长得像。两种分解的关系可以看下面的维基链接[1]（知乎没法打公式）。因为这种关系

特征值用来描述方阵，可看做是从一个空间到自身的映射，这也表现在了名字eigenvalue中。奇异值可以描述长方阵或奇异矩阵，可看做是从一个空间到另一个空间的映射。

特征值和奇异值都可用于分解矩阵，分解式长得像。两种分解的关系可以看下面的维基链接[1]（知乎没法打公式）。因为这种关系

作者：匿名用户
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