线段树及其懒惰标记浅谈

一 概述

线段树，类似区间树，是一个完全二叉树，它在各个节点保存一条线段（数组中的一段子数组），主要用于高效解决连续区间的动态查询问题，由于二叉结构的特性，它基本能保持每个操作的复杂度为O(logn)。

线段树的每个节点表示一个区间，子节点则分别表示父节点的左右半区间，例如父亲的区间是[a,b]，那么(c=(a+b)/2)左儿子的区间是[a,c]，右儿子的区间是[c+1,b]。

二从一个例子理解线段树

下面我们从一个经典的例子来了解线段树，问题描述如下:从数组arr[0...n-1]中查找某个数组某个区间内的最小值，其中数组大小固定，但是数组中的元素的值可以随时更新。

对这个问题一个简单的解法是：遍历数组区间找到最小值，时间复杂度是O(n),额外的空间复杂度O(1)。当数据量特别大，而查询操作很频繁的时候，耗时可能会不满足需求。

另一种解法：使用一个二维数组来保存提前计算好的区间[i,j]内的最小值，那么预处理时间为O(n^2)，查询耗时O(1),但是需要额外的O(n^2)空间，当数据量很大时，这个空间消耗是庞大的，而且当改变了数组中的某一个值时，更新二维数组中的最小值也很麻烦。

我们可以用线段树来解决这个问题：预处理耗时O(n)，查询、更新操作O(logn)，需要额外的空间O(n)。根据这个问题我们构造如下的二叉树

• 叶子节点是原始组数arr中的元素
• 非叶子节点代表它的所有子孙叶子节点所在区间的最小值

例如对于数组[2, 5, 1, 4, 9,3]可以构造如下的二叉树（背景为白色表示叶子节点，非叶子节点的值是其对应数组区间内的最小值，例如根节点表示数组区间arr[0...5]内的最小值是1）：                                                                                                      本文地址

由于线段树的父节点区间是平均分割到左右子树，因此线段树是完全二叉树，对于包含n个叶子节点的完全二叉树，它一定有n-1个非叶节点，总共2n-1个节点，因此存储线段是需要的空间复杂度是O(n)。那么线段树的操作：创建线段树、查询、节点更新是如何运作的呢（以下所有代码都是针对求区间最小值问题）？

2.1 创建线段树

对于线段树我们可以选择和普通二叉树一样的链式结构。由于线段树是完全二叉树，我们也可以用数组来存储，下面的讨论及代码都是数组来存储线段树，节点结构如下（注意到用数组存储时，有效空间为2n-1,实际空间确不止这么多，比如上面的线段树中叶子节点1、3虽然没有左右子树，但是的确占用了数组空间，实际空间是满二叉树的节点数目： ，  是树的高度，但是这个空间复杂度也是O(n)的 ）。

struct SegTreeNode

{

　　int val;

}；

定义包含n个节点的线段树 SegTreeNodesegTree[n]，segTree[0]表示根节点。那么对于节点segTree[i]，它的左孩子是segTree[2*i+1],右孩子是segTree[2*i+2]。

我们可以从根节点开始，平分区间，递归的创建线段树，线段树的创建函数如下：

const int MAXNUM = 1000;
 2 struct SegTreeNode
 3 {
 4     int val;
 5 }segTree[MAXNUM];//定义线段树
 6 
 7 
14 void build(int root, int arr[], int istart, int iend)
15 {
16     if(istart == iend)//叶子节点
17         segTree[root].val = arr[istart];
18     else
19     {
20         int mid = (istart + iend) / 2;
21         build(root*2+1, arr, istart, mid);//递归构造左子树
22         build(root*2+2, arr, mid+1, iend);//递归构造右子树
23         //根据左右子树根节点的值，更新当前根节点的值
24         segTree[root].val = min(segTree[root*2+1].val, segTree[root*2+2].val);
25     }
26 }

2.2 查询线段树

已经构建好了线段树，那么怎样在它上面超找某个区间的最小值呢？查询的思想是选出一些区间，使他们相连后恰好涵盖整个查询区间，因此线段树适合解决“相邻的区间的信息可以被合并成两个区间的并区间的信息”的问题。代码如下，具体见代码解释

int query(int root, int nstart, int nend, int qstart, int qend)
 8 {
 9     //查询区间和当前节点区间没有交集
10     if(qstart > nend || qend < nstart)
11         return INFINITE;
12     //当前节点区间包含在查询区间内
13     if(qstart <= nstart && qend >= nend)
14         return segTree[root].val;
15     //分别从左右子树查询，返回两者查询结果的较小值
16     int mid = (nstart + nend) / 2;
17     return min(query(root*2+1, nstart, mid, qstart, qend),
18                query(root*2+2, mid + 1, nend, qstart, qend));
19 
20 }

举例说明（对照上面的二叉树）：

1、当我们要查询区间[0,2]的最小值时，从根节点开始，要分别查询左右子树，查询左子树时节点区间[0,2]包含在查询区间[0,2]内，返回当前节点的值1，查询右子树时，节点区间[3,5]和查询区间[0,2]没有交集，返回正无穷INFINITE，查询结果取两子树查询结果的较小值1，因此结果是1.

2、查询区间[0,3]时，从根节点开始，查询左子树的节点区间[0,2]包含在区间[0,3]内，返回当前节点的值1；查询右子树时，继续递归查询右子树的左右子树，查询到非叶节点4时，又要继续递归查询：叶子节点4的节点区间[3,3]包含在查询区间[0,3]内，返回4，叶子节点9的节点区间[4,4]和[0,3]没有交集，返回INFINITE,因此非叶节点4返回的是min(4,INFINITE) = 4，叶子节点3的节点区间[5,5]和[0,3]没有交集，返回INFINITE,因此非叶节点3返回min(4,INFINITE) = 4, 因此根节点返回 min(1,4) = 1。

2.3单节点更新

单节点更新是指只更新线段树的某个叶子节点的值，但是更新叶子节点会对其父节点的值产生影响，因此更新子节点后，要回溯更新其父节点的值。

void updateOne(int root, int nstart, int nend, int index, int addVal)
 9 {
10     if(nstart == nend)
11     {
12         if(index == nstart)//找到了相应的节点，更新之
13             segTree[root].val += addVal;
14         return;
15     }
16     int mid = (nstart + nend) / 2;
17     if(index <= mid)//在左子树中更新
18         updateOne(root*2+1, nstart, mid, index, addVal);
19     else updateOne(root*2+2, mid+1, nend, index, addVal);//在右子树中更新
20     //根据左右子树的值回溯更新当前节点的值
21     segTree[root].val = min(segTree[root*2+1].val, segTree[root*2+2].val);
22 }

比如我们要更新叶子节点4（addVal =6）,更新后值变为10，那么其父节点的值从4变为9，非叶结点3的值更新后不变，根节点更新后也不变。

2.4 区间更新

区间更新是指更新某个区间内的叶子节点的值，因为涉及到的叶子节点不止一个，而叶子节点会影响其相应的非叶父节点，那么回溯需要更新的非叶子节点也会有很多，如果一次性更新完，操作的时间复杂度肯定不是O(lgn)，例如当我们要更新区间[0,3]内的叶子节点时，需要更新出了叶子节点3,9外的所有其他节点。为此引入了线段树中的延迟标记概念，这也是线段树的精华所在。

延迟标记：每个节点新增加一个标记，记录这个节点是否进行了某种修改(这种修改操作会影响其子节点)，对于任意区间的修改，我们先按照区间查询的方式将其划分成线段树中的节点，然后修改这些节点的信息，并给这些节点标记上代表这种修改操作的标记。在修改和查询的时候，如果我们到了一个节点p，并且决定考虑其子节点，那么我们就要看节点p是否被标记，如果有，就要按照标记修改其子节点的信息，并且给子节点都标上相同的标记，同时消掉节点p的标记。

因此需要在线段树结构中加入延迟标记域，本文例子中我们加入标记与addMark，表示节点的子孙节点在原来的值的基础上加上addMark的值，同时还需要修改创建函数build和 查询函数 query，修改的代码用红色字体表示，其中区间更新的函数为update，代码如下：

const int INFINITE = INT_MAX;
  2 const int MAXNUM = 1000;
  3 struct SegTreeNode
  4 {
  5     int val;
  6     int addMark;//延迟标记
  7 }segTree[MAXNUM];//定义线段树
  8 
  9 
 16 void build(int root, int arr[], int istart, int iend)
 17 {
 18     segTree[root].addMark = 0;//----设置标延迟记域
 19     if(istart == iend)//叶子节点
 20         segTree[root].val = arr[istart];
 21     else
 22     {
 23         int mid = (istart + iend) / 2;
 24         build(root*2+1, arr, istart, mid);//递归构造左子树
 25         build(root*2+2, arr, mid+1, iend);//递归构造右子树
 26         //根据左右子树根节点的值，更新当前根节点的值
 27         segTree[root].val = min(segTree[root*2+1].val, segTree[root*2+2].val);
 28     }
 29 }
 30 
 31 
 35 void pushDown(int root)
 36 {
 37     if(segTree[root].addMark != 0)
 38     {
 39         //设置左右孩子节点的标志域，因为孩子节点可能被多次延迟标记又没有向下传递
 40         //所以是 “+=”
 41         segTree[root*2+1].addMark += segTree[root].addMark;
 42         segTree[root*2+2].addMark += segTree[root].addMark;
 43         //根据标志域设置孩子节点的值。因为我们是求区间最小值，因此当区间内每个元
 44         //素加上一个值时，区间的最小值也加上这个值
 45         segTree[root*2+1].val += segTree[root].addMark;
 46         segTree[root*2+2].val += segTree[root].addMark;
 47         //传递后，当前节点标记域清空
 48         segTree[root].addMark = 0;
 49     }
 50 }
 51 
 52 
 58 int query(int root, int nstart, int nend, int qstart, int qend)
 59 {
 60     //查询区间和当前节点区间没有交集
 61     if(qstart > nend || qend < nstart)
 62         return INFINITE;
 63     //当前节点区间包含在查询区间内
 64     if(qstart <= nstart && qend >= nend)
 65         return segTree[root].val;
 66     //分别从左右子树查询，返回两者查询结果的较小值
 67     pushDown(root); //----延迟标志域向下传递
 68     int mid = (nstart + nend) / 2;
 69     return min(query(root*2+1, nstart, mid, qstart, qend),
 70                query(root*2+2, mid + 1, nend, qstart, qend));
 71 
 72 }
 73 
 74 
 81 void update(int root, int nstart, int nend, int ustart, int uend, int addVal)
 82 {
 83     //更新区间和当前节点区间没有交集
 84     if(ustart > nend || uend < nstart)
 85         return ;
 86     //当前节点区间包含在更新区间内
 87     if(ustart <= nstart && uend >= nend)
 88     {
 89         segTree[root].addMark += addVal;
 90         segTree[root].val += addVal;
 91         return ;
 92     }
 93     pushDown(root); //延迟标记向下传递
 94     //更新左右孩子节点
 95     int mid = (nstart + nend) / 2;
 96     update(root*2+1, nstart, mid, ustart, uend, addVal);
 97     update(root*2+2, mid+1, nend, ustart, uend, addVal);
 98     //根据左右子树的值回溯更新当前节点的值
 99     segTree[root].val = min(segTree[root*2+1].val, segTree[root*2+2].val);
100 }

区间更新举例说明：当我们要对区间[0,2]的叶子节点增加2，利用区间查询的方法从根节点开始找到了非叶子节点[0-2]，把它的值设置为1+2=3，并且把它的延迟标记设置为2，更新完毕；当我们要查询区间[0,1]内的最小值时，查找到区间[0,2]时，发现它的标记不为0，并且还要向下搜索，因此要把标记向下传递，把节点[0-1]的值设置为2+2= 4，标记设置为2，节点[2-2]的值设置为1+2 =3，标记设置为2（其实叶子节点的标志是不起作用的，这里是为了操作的一致性），然后返回查询结果：[0-1]节点的值4；当我们再次更新区间[0,1]（增加3）时，查询到节点[0-1],发现它的标记值为2，因此把它的标记值设置为2+3= 5，节点的值设置为4+3 = 7；

其实当区间更新的区间左右值相等时（[i,i]），就相当于单节点更新，单节点更新只是区间更新的特例。