数论文章----关于逆元的求法(欧拉定理,阶乘逆元,费马小定理,模质数p的情况)

乘法逆元

对于缩系中的元素,每个数a均有唯一的与之对应的乘法逆元x,使得ax≡1(mod n)
一个数有逆元的充分必要条件是gcd(a,n)=1,此时逆元唯一存在
逆元的含义:模n意义下,1个数a如果有逆元x,那么除以a相当于乘以x。

 

下面给出求逆元的几种方法:

1.扩展欧几里得

给定模数m,求a的逆相当于求解ax=1(mod m)
这个方程可以转化为ax-my=1
然后套用求二元一次方程的方法,用扩展欧几里得算法求得一组x0,y0和gcd
检查gcd是否为1
gcd不为1则说明逆元不存在
若为1,则调整x0到0~m-1的范围中即可

PS:这种算法效率较高,常数较小,时间复杂度为O(ln n)

 

 
  1. typedef long long ll;

  2. void extgcd(ll a,ll b,ll& d,ll& x,ll& y){

  3. if(!b){ d=a; x=1; y=0;}

  4. else{ extgcd(b,a%b,d,y,x); y-=x*(a/b); }

  5. }

  6. ll inverse(ll a,ll n){

  7. ll d,x,y;

  8. extgcd(a,n,d,x,y);

  9. return d==1?(x+n)%n:-1;

  10. }

 

 

2.费马小定理

在模为素数p的情况下,有费马小定理
a^(p-1)=1(mod p)
那么a^(p-2)=a^-1(mod p)
也就是说a的逆元为a^(p-2)

而在模不为素数p的情况下,有欧拉定理
a^phi(m)=1(mod m) (a⊥m)
同理a^-1=a^(phi(m)-1)

因此逆元x便可以套用快速幂求得了x=a^(phi(m)-1)

但是似乎还有个问题?如何判断a是否有逆元呢? 

检验逆元的性质,看求出的幂值x与a相乘是否为1即可

PS:这种算法复杂度为O(log2N)在几次测试中,常数似乎较上种方法大

当p比较大的时候需要用快速幂求解

 

 
  1. typedef long long ll;

  2. ll pow_mod(ll x, ll n, ll mod){

  3. ll res=1;

  4. while(n>0){

  5. if(n&1)res=res*x%mod;

  6. x=x*x%mod;

  7. n>>=1;

  8. }

  9. return res;

  10. }

 

当模p不是素数的时候需要用到欧拉定理

a^phi(p)≡1               (mod p)

a*a^(phi(p)-1)≡1      (mod p)

a^(-1)≡a^(phi(p)-1)  (mod p)

所以
时间复杂度即求出单个欧拉函数的值

(当p为素数的时候phi(p)=p-1,则phi(p)-1=p-2可以看出欧拉定理是费马小定理的推广)

PS:这里就贴出欧拉定理的板子,很少会用欧拉定理求逆元

 

 

3.特殊情况

一:

当N是质数, 
这点也很好理解。当N是质数,0 < a < N时,,则a肯定存在逆元。 
而解出的就满足,故它是a的逆元。

在CF 696C,

求解就灰常方便了…

二:

求逆元一般公式(条件b|a)

ans=a/bmodm=amod(mb)/b

公式证明:

PS:实际上a mod (bm)/b这种的对于所有的都适用,不区分互不互素,而费马小定理和扩展欧几里得算法求逆元是有局限性的,它们都会要求互素,如果a与m不互素,那就没有逆元,这个时候需要a mod (bm)/b来搞(此时就不是逆元的概念了)。但是当a与m互素的时候,bm可能会很大,不适合套这个一般公式,所以大部分时候还是用逆元来搞

4.逆元打表

 

 

有时会遇到这样一种问题,在模质数p下,求1~n逆元 n< p(这里为奇质数)。可以O(n)求出所有逆元,有一个递推式如下

 

                   

 

它的推导过程如下,设,那么

 

       

 

对上式两边同时除,进一步得到

 

       

 

再把替换掉,最终得到

 

       

 

初始化,这样就可以通过递推法求出1->n模奇素数的所有逆元了。

 

另外有个结论的所有逆元值对应中所有的数,比如,那么对应的逆元是

 

 
  1. typedef long long ll;

  2. const int N = 1e5 + 5;

  3. int inv[N];

  4.  
  5. void inverse(int n, int p) {

  6. inv[1] = 1;

  7. for (int i=2; i<=n; ++i) {

  8. inv[i] = (ll) (p - p / i) * inv[p%i] % p;

  9. }

  10. }

 

例题可以参考http://blog.csdn.net/acdreamers/article/details/8220787

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