2019 Multi-University Training Contest 8——Acesrc and Good Numbers（数学 想法）

original link - http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=6659

题意：

定义$F(d,n)$为$1,2...n$的十进制下位中，数字d出现的个数，找出小于等于$n$的最大的数$x$使得$F(d,x)=x$。

解析：

神奇的做法，可惜比赛的时候在敲其他题目没有好好想过这题。

首先我们用数位$dp$求出$F(d,n)=y$，设$sub=|n-y|$，由于减少每个数至多只会减少$18$个$d$。所以我让$n$往下缩小$\lceil \frac{sub}{18}\rceil$。

这样可以保证不会漏掉正解。

复杂度证明：

以$d=1$为例，假定$n=a_1\ast 10^{18}+a_2\ast 10^{17}+...$，则有：$F(1,n)=(b_1\le a_1)10^{18}+b_2\ast 10^{17}+..$

即$n=O(k_{1}x),F(d,n)=O(k_{2}x),|n-F(d,n)|=O(k_{3}x)$，每次减小步长是$O(x)$级的。所以循环次数不会很大。

代码：

#include
using namespace std;
#define LL long long
LL ans;
int lim[20],up;
LL P10[20];
LL num[20];
LL ct(int len){
    if(len<=0)return 0;
    return 1ll*len*P10[len-1];
}
void dfs(int d,int pos){
    if(pos==0)return;
    for(int i=0;i<lim[pos];i++){
        if(i==d)ans+=P10[pos-1];
        ans+=ct(pos-1);
    }
    if(lim[pos]==d){
        ans+=num[pos-1]+1;
    }
    dfs(d,pos-1);
}
void deal(int d,LL R){
    ans=0;
    up=0;
    P10[0]=1;
    while(R){
        lim[++up]=R%10ll;
        P10[up]=P10[up-1]*10ll;
        R/=10ll;
    }
    for(int i=1;i<=up;i++){
        num[i]=num[i-1]+lim[i]*P10[i-1];
    }
    dfs(d,up);
}

int main(){
    int t;scanf("%d",&t);
    while(t--){
        int d;LL R;
        scanf("%d%lld",&d,&R);
        deal(d,R);
        while(ans!=R){
            R-=(abs(R-ans)+17ll)/18;
            deal(d,R);
        }
        printf("%lld\n",R);
    }
}