变换矩阵

点和向量

向量是一个线性空间的元素，是从原点或某点指向空间另一点处的一个箭头。例如，三维空间中的某个向量的坐标可以用 R³ 当中的三个数来表示。同时也可以得到某个点的坐标，设一个线性空间的基（e₁，e₂，e₃），这时我们可以得到这个向量在这个基的坐标：
$$a=\left[\begin{array}{c}e1，e2，e3\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}a1\\ a2\\ a3\end{array}\right]=a1e1+a2e2+a3e3$$
所以可以知道坐标的实际取值，一是和向量本身有关系，而是和坐标系的基有关系。坐标系一般由三个正交的坐标轴组成。

向量的内积

向量的内积主要是描述向量之间的投影关系，例如a · b = a^T b = |a||b|cos⟨a,b⟩,如果此处b为单位向量，可以看出a · b为a到b方向的投影

向量的外积

向量的外积的方向垂直于两个向量，并且大小为 |a||b|sin⟨a,b⟩，然后方向用右手法则确定

坐标系的变换

当一个机器人在实际的运动过程中，其自身当前的坐标系（移动坐标系）相对于原来的坐标（一般定义一个世界坐标系）是在不断变换的（平移或者旋转）。同样在相机中某个向量为p，坐标为p_c，但在世界坐标系下看，坐标为p_w 。所以实现以上的转换我们需要一个转换矩阵T
这里使用欧式变换，对于世界坐标系我们设其基为(e ₁ ,e₂ ,e ₃ )，然后对于相机的坐标系的基为（e’₁ ,e’₂ ,e’₃）,然后向量a在两个坐标系的坐标为**[a₁,a₂,a₃]^T,[a’₁, a’₂,a’₃]^T**，因为向量是不会改变的所以：
之后整理下可以得到：
其中矩阵R就是旋转矩阵，但在实际情况下我们还需要一个平移矩阵 T得到 a’=Ra+T
单独看对于x轴的旋转时，坐标系的变化为：
x′=x
y′=ycosθ−zsinθ
z′=ysinθ+zcosθ
所以可以整理为矩阵:
$$Rx=\left[\begin{array}{c}1，0，0\\ 0，cos\theta ，-sin\theta \\ 0，sin\theta ，cos\theta \end{array}\right]$$
同理可以整理得到对y轴和对z轴的旋转矩阵：
$$Ry=\left[\begin{array}{c}cos\theta ，0，sin\theta \\ 0，1，0\\ -sin\theta ，0，cos\theta \end{array}\right]$$
$$Rz=\left[\begin{array}{c}cos\theta ，-sin\theta ，0\\ sin\theta ，cos\theta ，0\\ 0，0，1\end{array}\right]$$
$$R=Rx\cdot Ry\cdot Rz$$

齐次坐标

在不使用齐次化的时候，对于坐标之间的变化
但是对于a到c时就比较复杂了：
所以这里我们对其进行齐次化：
这样就方便了我们对于坐标的变化过程：

变换矩阵求逆

我们这里能够很容易得到旋转矩阵的逆，因为旋转矩阵为正交矩阵所以 R₁=R’₁=R^T
但是平移矩阵却不同 不是单单的t₁=-t’₁，因为t₁是像对于前一个坐标系下的平移矩阵，而t₂是相对于当前坐标系下的平移矩阵。所以应该是t₁=-R’₁·t’₁

$$T^{\prime }=\left[\begin{array}{c}{R}^T，-R^T{t}^{\prime }1\\ 0，1\end{array}\right]$$