caioj1212:【计算几何】判断线段相交（快速排斥判断与跨立实验）

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说实话我觉得这道题才是真正的计算几何题
相对于这道题正方形那道真是太水了

正文

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大意：
你按顺序丢了一堆线段到平面上，问你能直接拿起几根（不用搬走其他的线段）

前置知识

不是前置知识的东西：
本文使用结构体储存点和线段
所有的坐标都在笛卡儿坐标系中定义
说人话就是我用的是平面直角坐标系

端点结构体：

struct point
{
	double x,y;//横、纵坐标
};

线段结构体：

struct segment
{
	point l,r;//懒得打编号了，就直接记作左右端点（虽然可能不科学）
}

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叉积

向量积，数学中又称外积、叉积，物理中称矢积、叉乘，是一种在向量空间中向量的二元运算。
                                           ——百度百科

向量的坑以后再补
叉积是什么？
我也想知道
叉积就是两个向量形成的平行四边形的面积大小。
$CA$与$CB$的叉积记为$CA\times CB$
就像这样：

图中平行四边形的面积就是$CA\times CB$（的大小）
（其实叉积是也一个向量，但我们在这里只讨论它的大小了啦！）

计算方法：
我们可以由三个点的坐标(图中的$A,B,C$)计算出两个向量的叉积
推导：
平行四边形的面积可以由$2S_{△ABC}$得到
作辅助矩形$CDFE$:

易得：
$S_{△ABC}=S_{矩形CDFE}-S_{△ACE}-S_{△BCD}-S_{△ABF}$
$=x_B\ast y_A-\frac{1}{2}\ast x_A\ast y_A-\frac{1}{2}\ast x_B\ast y_B-\frac{1}{2}\ast (x_B-x_A)\ast (y_A-y_B)$
$=x_B\ast y_A-\frac{1}{2}\ast x_A\ast y_A-\frac{1}{2}\ast x_B\ast y_B-\frac{1}{2}\ast x_B\ast y_A+\frac{1}{2}\ast x_B\ast y_B+\frac{1}{2}\ast x_A\ast y_A-\frac{1}{2}\ast x_A\ast y_B$
$=\frac{1}{2}\ast x_B\ast y_A-\frac{1}{2}\ast x_A\ast y_B$
暴力果然是有用的
所以$CA\times CB$就可以表示为：
$(x_B-x_C)(y_A-y_C)-(x_A-x_C)(y_B-y_C)$

说了这么多，叉积有什么用呢？
好吧我们在这里只是用了一个性质：
如果记$C$为原点的话
那么如果是这样的一个情况：

我们会发现，$CA\times CB$是小于零的！
经过人类几千年以来的观察， 叉积总是在$CA$位于$CB$的顺时针方向时小于零，在$CA$位于$CB$所在直线上时等于零，在$CA$位于$CB$的顺时针方向时
因此，叉积的正负性可以用于判断从$A$到$B$的旋转方向。

真正的正文：

我们来看看两条相交的线段

有没有发现相对于$A$，与它处于同一条线段的另一点$C$与其它两点$B,D$的关系？
好像$AC$总是被夹在$AB$和$AD$中间呢！
仔细看一下好像对于每一个点都是酱紫的诶！
那我们就可以以$A$做基准点，判断$B,D$是不是在$C$的两边（也就是$AB\times AC$与$AD\times AC$不同号）就好啦！
等等！
还没好呢！
要是这样呢？

emm……那就再用B做基准点判一次咯……
所以代码就出来了：

bool intersect(line a,line b)
{
	#define A a.l
	#define B b.l
	#define C a.r
	#define D b.r
	//这几行的意思就是用ABCD四个点表示两条线段的四个端点
	if(cp(C,B,A)*cp(C,D,A)<0&&cp(D,A,B)*cp(D,C,B)<0)return 1;
	return 0;
	#undef A
	#undef B
	#undef C
	#undef D
	//这是取消上面的快捷表示，防止以后要用到ABCD
}

且慢！
如果这样呢？

这样的话$BC\times BD$就是0了啊！
那要不直接把$<$改成$\le$？
嘿嘿嘿~~~
直接上图：

这种情况下会错判
所以！
我们只能暴力判断了！
我们就加入一个东西：
这个东西叫做快速排斥判断。
它的工作原理如下：

我们用两个矩形框住两条线段
然后判断两个矩形是否有重叠部分
没有的话两条线段就肯定不会相交啊！
这时候我们就把它排除掉。
这个代码也不难：

int amaxx=max(a.l.x,a.r.x),amaxy=max(a.l.y,a.r.y),bmaxx=max(b.l.x,b.r.x),bmaxy=max(b.l.y,b.r.y);
int aminx=min(a.l.x,a.r.x),aminy=min(a.l.y,a.r.y),bminx=min(b.l.x,b.r.x),bminy=min(b.l.y,b.r.y);
if(amaxx<bminx||bmaxx<aminx||amaxy<bminy||bmaxy<aminy)return 0;

最终代码：

#include
#include
using namespace std;
double max(double a,double b)
{return a>b?a:b;}
double min(double a,double b)
{return a<b?a:b;}
struct point
{
	double x,y;
	point operator -(point b)
	{return (point){x-b.x,y-b.y};}
};
struct line
{
	point l,r;
}a[11000];
double cp/*Cross product*/(point a,point b,point o)//OA*OB
{
	point A=a-o,B=b-o;
	return A.x*B.y-A.y*B.x;
}
bool intersect(line a,line b)
{
	int amaxx=max(a.l.x,a.r.x),amaxy=max(a.l.y,a.r.y),bmaxx=max(b.l.x,b.r.x),bmaxy=max(b.l.y,b.r.y);
	int aminx=min(a.l.x,a.r.x),aminy=min(a.l.y,a.r.y),bminx=min(b.l.x,b.r.x),bminy=min(b.l.y,b.r.y);
	if(amaxx<bminx||bmaxx<aminx||amaxy<bminy||bmaxy<aminy)return 0;
	#define A a.l
	#define B b.l
	#define C a.r
	#define D b.r
	if(cp(C,B,A)*cp(C,D,A)<=0&&cp(D,A,B)*cp(D,C,B)<=0)return 1;
	#undef A
	#undef B
	#undef C
	#undef D
	return 0;
}
bool v[11000];
int main()
{
	int n;
	scanf("%d",&n);
	#define L a[i].l
	#define R a[i].r
	for(int i=1;i<=n;i++)
		scanf("%lf%lf%lf%lf",&L.x,&L.y,&R.x,&R.y);
	#undef L
	#undef R
	memset(v,1,sizeof(v));
	for(int i=1;i<n;i++)
		for(int j=i+1;j<=n;j++)
			if(intersect(a[i],a[j]))
			{
				v[i]=0;
				break;
			}
	for(int i=1;i<=n;i++)
		v[i]&&printf("%d ",i);
		//&&是短路运算符，就是只有前面一个是真才会执行后面的语句，这样会比if快一点（？）
	return 0;
}

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历时两天，终于写完~~