caioj1212:【计算几何】判断线段相交(快速排斥判断与跨立实验)

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说实话我觉得这道题才是真正的计算几何题
相对于这道题正方形那道真是太水了

正文


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大意:
你按顺序丢了一堆线段到平面上,问你能直接拿起几根(不用搬走其他的线段)

前置知识

不是前置知识的东西:
本文使用结构体储存点和线段
所有的坐标都在笛卡儿坐标系中定义
说人话就是我用的是平面直角坐标系

端点结构体:

struct point
{
	double x,y;//横、纵坐标
};

线段结构体:

struct segment
{
	point l,r;//懒得打编号了,就直接记作左右端点(虽然可能不科学)
}

叉积

向量积,数学中又称外积、叉积,物理中称矢积、叉乘,是一种在向量空间中向量的二元运算。
                                           ——百度百科

向量的坑以后再补
叉积是什么?
我也想知道
叉积就是两个向量形成的平行四边形的面积大小。
C A → \overrightarrow{CA} CA C B → \overrightarrow{CB} CB 的叉积记为 C A → × C B → \overrightarrow{CA}\times\overrightarrow{CB} CA ×CB
就像这样:
caioj1212:【计算几何】判断线段相交(快速排斥判断与跨立实验)_第1张图片
图中平行四边形的面积就是 C A → × C B → \overrightarrow{CA}\times\overrightarrow{CB} CA ×CB (的大小)
(其实叉积是也一个向量,但我们在这里只讨论它的大小了啦!)

计算方法:
我们可以由三个点的坐标(图中的 A , B , C A,B,C A,B,C)计算出两个向量的叉积
推导:
平行四边形的面积可以由 2 S △ A B C 2S_{\triangle ABC} 2SABC得到
作辅助矩形 C D F E CDFE CDFE:
caioj1212:【计算几何】判断线段相交(快速排斥判断与跨立实验)_第2张图片
易得:
S △ A B C = S 矩 形 C D F E − S △ A C E − S △ B C D − S △ A B F S_{\triangle ABC}=S_{矩形CDFE}-S_{\triangle ACE}-S_{\triangle BCD}-S_{\triangle ABF} SABC=SCDFESACESBCDSABF
= x B ∗ y A − 1 2 ∗ x A ∗ y A − 1 2 ∗ x B ∗ y B − 1 2 ∗ ( x B − x A ) ∗ ( y A − y B ) =x_B*y_A-\frac12*x_A*y_A-\frac12*x_B*y_B-\frac12*(x_B-x_A)*(y_A-y_B) =xByA21xAyA21xByB21(xBxA)(yAyB)
= x B ∗ y A − 1 2 ∗ x A ∗ y A − 1 2 ∗ x B ∗ y B − 1 2 ∗ x B ∗ y A + 1 2 ∗ x B ∗ y B + 1 2 ∗ x A ∗ y A − 1 2 ∗ x A ∗ y B =x_B*y_A-\frac12*x_A*y_A-\frac12*x_B*y_B-\frac12*x_B*y_A+\frac12*x_B*y_B+\frac12*x_A*y_A-\frac12*x_A*y_B =xByA21xAyA21xByB21xByA+21xByB+21xAyA21xAyB
= 1 2 ∗ x B ∗ y A − 1 2 ∗ x A ∗ y B =\frac12*x_B*y_A-\frac12*x_A*y_B =21xByA21xAyB
暴力果然是有用的
所以 C A → × C B → \overrightarrow {CA}\times\overrightarrow {CB} CA ×CB 就可以表示为:
( x B − x C ) ( y A − y C ) − ( x A − x C ) ( y B − y C ) (x_B-x_C)(y_A-y_C)-(x_A-x_C)(y_B-y_C) (xBxC)(yAyC)(xAxC)(yByC)

说了这么多,叉积有什么用呢?
好吧我们在这里只是用了一个性质:
如果记 C C C为原点的话
那么如果是这样的一个情况:
caioj1212:【计算几何】判断线段相交(快速排斥判断与跨立实验)_第3张图片
我们会发现, C A → × C B → \overrightarrow{CA}\times\overrightarrow{CB} CA ×CB 是小于零的!
经过人类几千年以来的观察, 叉积总是在 C A → \overrightarrow{CA} CA 位于 C B → \overrightarrow{CB} CB 的顺时针方向时小于零,在 C A → \overrightarrow{CA} CA 位于 C B → \overrightarrow{CB} CB 所在直线上时等于零,在 C A → \overrightarrow{CA} CA 位于 C B → \overrightarrow{CB} CB 的顺时针方向时
因此,叉积的正负性可以用于判断从 A ⃗ \vec A A B ⃗ \vec B B 的旋转方向。

真正的正文:

我们来看看两条相交的线段
caioj1212:【计算几何】判断线段相交(快速排斥判断与跨立实验)_第4张图片
有没有发现相对于 A A A,与它处于同一条线段的另一点 C C C与其它两点 B , D B,D B,D的关系?
好像 A C → \overrightarrow{AC} AC 总是被夹在 A B → \overrightarrow{AB} AB A D → \overrightarrow{AD} AD 中间呢!
仔细看一下好像对于每一个点都是酱紫的诶!
那我们就可以以 A A A做基准点,判断 B , D B,D B,D是不是在 C C C的两边(也就是 A B → × A C → \overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC} AB ×AC A D → × A C → \overrightarrow{AD}\times\overrightarrow{AC} AD ×AC 不同号)就好啦!
等等!
还没好呢!
要是这样呢?
caioj1212:【计算几何】判断线段相交(快速排斥判断与跨立实验)_第5张图片


emm……那就再用B做基准点判一次咯……
所以代码就出来了:

bool intersect(line a,line b)
{
	#define A a.l
	#define B b.l
	#define C a.r
	#define D b.r
	//这几行的意思就是用ABCD四个点表示两条线段的四个端点
	if(cp(C,B,A)*cp(C,D,A)<0&&cp(D,A,B)*cp(D,C,B)<0)return 1;
	return 0;
	#undef A
	#undef B
	#undef C
	#undef D
	//这是取消上面的快捷表示,防止以后要用到ABCD
}

且慢!
如果这样呢?
caioj1212:【计算几何】判断线段相交(快速排斥判断与跨立实验)_第6张图片
这样的话 B C → × B D → \overrightarrow{BC}\times\overrightarrow{BD} BC ×BD 就是0了啊!
那要不直接把 < < <改成 ≤ \le
嘿嘿嘿~~~
直接上图:
caioj1212:【计算几何】判断线段相交(快速排斥判断与跨立实验)_第7张图片
这种情况下会错判
所以!
我们只能暴力判断了!
我们就加入一个东西:
这个东西叫做快速排斥判断。
它的工作原理如下:
caioj1212:【计算几何】判断线段相交(快速排斥判断与跨立实验)_第8张图片
我们用两个矩形框住两条线段
然后判断两个矩形是否有重叠部分
没有的话两条线段就肯定不会相交啊!
这时候我们就把它排除掉。
这个代码也不难:

int amaxx=max(a.l.x,a.r.x),amaxy=max(a.l.y,a.r.y),bmaxx=max(b.l.x,b.r.x),bmaxy=max(b.l.y,b.r.y);
int aminx=min(a.l.x,a.r.x),aminy=min(a.l.y,a.r.y),bminx=min(b.l.x,b.r.x),bminy=min(b.l.y,b.r.y);
if(amaxx<bminx||bmaxx<aminx||amaxy<bminy||bmaxy<aminy)return 0;

最终代码:

#include
#include
using namespace std;
double max(double a,double b)
{return a>b?a:b;}
double min(double a,double b)
{return a<b?a:b;}
struct point
{
	double x,y;
	point operator -(point b)
	{return (point){x-b.x,y-b.y};}
};
struct line
{
	point l,r;
}a[11000];
double cp/*Cross product*/(point a,point b,point o)//OA*OB
{
	point A=a-o,B=b-o;
	return A.x*B.y-A.y*B.x;
}
bool intersect(line a,line b)
{
	int amaxx=max(a.l.x,a.r.x),amaxy=max(a.l.y,a.r.y),bmaxx=max(b.l.x,b.r.x),bmaxy=max(b.l.y,b.r.y);
	int aminx=min(a.l.x,a.r.x),aminy=min(a.l.y,a.r.y),bminx=min(b.l.x,b.r.x),bminy=min(b.l.y,b.r.y);
	if(amaxx<bminx||bmaxx<aminx||amaxy<bminy||bmaxy<aminy)return 0;
	#define A a.l
	#define B b.l
	#define C a.r
	#define D b.r
	if(cp(C,B,A)*cp(C,D,A)<=0&&cp(D,A,B)*cp(D,C,B)<=0)return 1;
	#undef A
	#undef B
	#undef C
	#undef D
	return 0;
}
bool v[11000];
int main()
{
	int n;
	scanf("%d",&n);
	#define L a[i].l
	#define R a[i].r
	for(int i=1;i<=n;i++)
		scanf("%lf%lf%lf%lf",&L.x,&L.y,&R.x,&R.y);
	#undef L
	#undef R
	memset(v,1,sizeof(v));
	for(int i=1;i<n;i++)
		for(int j=i+1;j<=n;j++)
			if(intersect(a[i],a[j]))
			{
				v[i]=0;
				break;
			}
	for(int i=1;i<=n;i++)
		v[i]&&printf("%d ",i);
		//&&是短路运算符,就是只有前面一个是真才会执行后面的语句,这样会比if快一点(?)
	return 0;
}

历时两天,终于写完~~

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