dfs序基本类型总结
大致看了下dfs序的题型，大致清楚了大致的解题思路。。。但是对于一些题目还是比较无力。。。。
dfs序比较重要的性质：一棵子树的所有节点在dfs序里是连续一段，主要就是利用这个性质来解题
题型一：对某个点X权值加上一个数W，查询某个子树X里所有点权值和。
解：列出dfs序，实现修改一个数，查询一段序列的和，显然这个序列可以用树状数组维护。
/*
poj3321
树状数组直接在第一次出现的位置+1，-1好了，对其他兄弟树没有影响，因为兄弟树是求区间，前面的+1，-1已经抵消掉了
*/
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#define mem(a,b) memset(a,b,sizeof(a))
using namespace std;
typedef long long ll;
const int maxn = 100005;
struct ppp{
int v,nex;
}e[maxn * 4] ;
int head[maxn],tole,n;
void make_edge(int u,int v){
e[tole].v = v;e[tole].nex = head[u];head[u] = tole++;
}
int qian[maxn],hou[maxn],vis[maxn];
int sum[maxn * 2];
int cnt_node;
void init(){
for(int i = 0;i < 2 * maxn;i++){
head[i >> 1] = -1;sum[i] = 0;
vis[i >> 1] = 1;
}
tole = 0;
cnt_node = 0;
}
void dfs(int u,int pre){
qian[u] = ++cnt_node;
for(int i = head[u];~i;i = e[i].nex){
int v = e[i].v;
if(v == pre)continue;
dfs(v,u);
}
hou[u] = ++cnt_node;
}
int lowbit(int x){
return x & -x;
}
int query(int x){
int ret = 0;
while(x >= 1){
ret += sum[x];
x -= lowbit(x);
}
return ret;
}
void add(int x,int v){
while(x <= cnt_node){
sum[x] += v;
x += lowbit(x);
}
}
int main(){
while(~scanf("%d",&n)){
init();
for(int i = 1,a,b;i <= n - 1;i++){
scanf("%d%d",&a,&b);
make_edge(a,b);
make_edge(b,a);
}
dfs(1,-1);
for(int i = 1;i <= n;i++){
add(qian[i],1);
}
int q;
scanf("%d",&q);
char c;int a;
while(q--){
scanf(" %c%d",&c,&a);
if(c == 'Q'){
int now = query(hou[a]) - query(qian[a] - 1);
printf("%d\n",now);
}else {
if(vis[a] > 0){
add(qian[a],-1);
}else {
add(qian[a],1);
}
vis[a] = !vis[a];
}
}
}
} 题型二：对X到Y的最短路上所有点权值加上一个数W，查询某个点的权值。
解：并没有找到该类型的题目。。。。假设有这种题目吧。。若X到Y上的点的权值都加上W，那么其实就是X到根的权值加上W，Y到根的点权值加上W，lca（X,Y）到根的权值减去W，parent(lca(X,Y))到根的点权值减去W。
#include
#define mem(a,b) memset(a,b,sizeof(a))
#define FOR(i,a,b) for(int i = a;i <= b;i++)
using namespace std;
typedef long long ll;
const int maxn = 100005;
const int INF = 0x3f3f3f3f;
struct ppp
{
int v,nex;
}e[maxn * 2];
int head[maxn],q,n;
int dp[maxn * 2][19],tole;
int dep[maxn],pos[maxn],last[maxn * 2];
int cnt;
int st[maxn],ed[maxn];
void make_edge(int u,int v)
{
e[tole].v = v,e[tole].nex = head[u];head[u] = tole++;
}
int sum[maxn * 2],parent[maxn];
inline int lowbit (int x){
return x & -x;
}
void add(int x,int v){
while(x <= cnt){
sum[x] += v;
x += lowbit(x);
}
}
int que(int x){
int ret = 0;
while(x >= 1){
ret += sum[x];
x -= lowbit(x);
}
return ret;
}
void dfs(int u,int fa,int deep)
{
parent[u] = fa;
dep[u] = deep;
pos[u] = ++cnt;
st[u] = cnt;
last[cnt] = u;
int v;
for(int i = head[u];~i;i = e[i].nex)
{
v = e[i].v;
if(v == fa)continue;
dfs(v,u,deep + 1);
pos[u] = ++cnt;
last[cnt] = u;
}
ed[u] = cnt;
}
void ST()
{
for(int i = 1;i <= cnt;i++)
dp[i][0] = last[i];
for(int j = 1;(1 << j) <= cnt;j++)
for(int i = 1;i + (1 << j) - 1 <= cnt;i++)
{
dp[i][j] = dp[i][j - 1];
if(dep[dp[i + (1 << (j - 1))][j - 1]] < dep[dp[i][j - 1]])dp[i][j] = dp[i + (1 << (j - 1))][j - 1];
}
}
int query(int l,int r)
{
int k = 0;
while((1 << (k + 1)) <= r - l + 1)k++;
if(dep[dp[l][k]] < dep[dp[r - (1 << k) + 1][k]])
return dp[l][k];
else return dp[r - (1 << k) + 1][k];
}
void init()
{
mem(head,-1);
tole = 0;
cnt = 0;
mem(sum,0);
}
int main()
{
while(~scanf("%d",&n))
{
init();
for(int i = 1,a,b;i <= n - 1;i++){
scanf("%d%d",&a,&b);
make_edge(a,b);
make_edge(b,a);
}
dfs(1,-1,1);
ST();
scanf("%d",&q);//查询个数
char c;
int a,b;
while(q--){
scanf(" %c",&c);
if(c == 'Q'){
scanf("%d",&a);
printf("%d\n",que(ed[a]) - que(st[a] - 1));
}else {
int v;
scanf("%d%d%d",&a,&b,&v);
int aa = pos[a],bb = pos[b];
if(aa > bb)swap(aa,bb);
int lca = query(aa,bb);
add(st[a],v);//这里在树状数组上加加减减感觉挺难理解的，可以写出dfs序画一画
add(st[b],v);
add(st[lca],-v);
if(lca != 1)
add(st[parent[lca]],-v);
}
}
}
} 题型三：
从X到Y的点加上或者减去一个W，求某个点子树内的所有点的权值和
假设X在Y的子树内，那么对于询问点Y，询问值会加上W * (depth(X) - depth(Y) + 1)。
拆开后为W * (depth(x) + 1) - W * (depth(Y)) 。因为对于询问的是Y，由此可见此式子跟X无关，所以可以开设两个树状数组，一个保存W * (depth(x) + 1)，另一个保存W * depth(Y)，对于每一个部分维护，维护的方式类似题型二。
以下代码非本人写，供参考
#include
#define mem(a,b) memset(a,b,sizeof(a))
using namespace std;
typedef long long ll;
const int MAXN = 1e5+10;
vector edge[MAXN];
int s[2*MAXN];
int s1[2*MAXN];
int seq[2*MAXN];
int seq1[2*MAXN];
int depth[2*MAXN];
int first[MAXN];
int dp[2*MAXN][25];
int st[MAXN];
int ed[MAXN];
int parent[MAXN];
int cnt, num;
int Lowbit(int x)
{
return x & (-x);
}
void Add(int x, int val, int n)
{
if(x <= 0) return;
for(int i = x; i <= n; i += Lowbit(i)) {
s[i] += val;
}
}
void Add1(int x, int val, int n)
{
if(x <= 0) return;
for(int i = x; i <= n; i += Lowbit(i)) {
s1[i] += val;
}
}
int Sum(int x)
{
int res = 0;
for(int i = x; i > 0; i -= Lowbit(i)) {
res += s[i];
}
return res;
}
int Sum1(int x)
{
int res = 0;
for(int i = x; i > 0; i -= Lowbit(i)) {
res += s1[i];
}
return res;
}
void Dfs(int u, int fa, int dep)
{
parent[u] = fa;
seq[++cnt] = u;
seq1[++num] = u;
first[u] = num;
depth[num] = dep;
st[u] = cnt;
int len = edge[u].size();
for(int i = 0; i < len; i++) {
int v = edge[u][i];
if(v != fa) {
Dfs(v, u, dep+1);
seq1[++num] = u;
depth[num] = dep;
}
}
seq[++cnt] = u;
ed[u] = cnt;
}
void RMQ_Init(int n)
{
for(int i = 1; i <= n; i++) {
dp[i][0] = i;
}
for(int j = 1; (1 << j) <= n; j++) {
for(int i = 1; i + (1 << j) - 1 <= n; i++) {
int a = dp[i][j-1], b = dp[i + (1 << (j-1))][j-1];
dp[i][j] = depth[a] < depth[b] ? a : b;
}
}
}
int RMQ_Query(int l, int r)
{
int k = 0;
while((1 << (k + 1)) <= r - l + 1) k++;
int a = dp[l][k], b = dp[r-(1< b) a ^= b, b ^= a, a ^= b;
int res = RMQ_Query(a, b);
return seq1[res];
}
void Init(int n)
{
for(int i = 0; i <= n; i++) {
edge[i].clear();
}
memset(s, 0, sizeof(s));
}
int main()
{
int n, op;
int u, v, w;
int cmd;
while(scanf("%d %d", &n, &op) != EOF) {
Init(n);
for(int i = 0; i < n-1; i++) {
scanf("%d %d", &u, &v);
edge[u].push_back(v);
edge[v].push_back(u);
}
cnt = 0, num = 0;
Dfs(1, -1, 0);
RMQ_Init(num);
while(op--) {
scanf("%d", &cmd);
if(cmd == 0) {
scanf("%d %d %d", &u, &v, &w);
int lca = LCA(u, v);
//以下维护跟求值其实跟题型二是一样的，就是分两个树状数组
Add(st[u], w * depth[first[u]] + w, cnt);
Add1(st[u], w, cnt);
Add(st[v], w * depth[first[v]] + w, cnt);
Add1(st[v], w, cnt);
Add(lca, -(w * depth[first[lca]] + w), cnt);
Add1(lca, -w, cnt);
Add(parent[lca], -(w * depth[first[parent[lca]]] + w), cnt);
Add1(parent[lca], -w, cnt);
}
else if(cmd == 1) {
scanf("%d", &u);
printf("%d\n", Sum(ed[u]) - Sum(st[u] - 1) - depth[first[u]] * (Sum1(ed[u]) - Sum1(st[u] - 1)));
}
}
}
return 0;
} 题型四：对于某个节点X加上一个W，查询X到Y路径上的所有点的权值和。ps：这个感觉比前面的都容易想到啊。。。。
那么加上一个W的维护就跟题型一的维护差不多。
查询的值就等于： X到根的权值和 + Y到跟的权值和 - LCA(X,Y)到根的权值和 - parent(LCA(X,Y))到根的权值和。
思路很简单，贴一下别人的代码：
const int MAXN = 1e5+10;
vector edge[MAXN];
int s[2*MAXN];
int s1[2*MAXN];
int seq[2*MAXN];
int seq1[2*MAXN];
int depth[2*MAXN];
int first[MAXN];
int dp[2*MAXN][25];
int st[MAXN];
int ed[MAXN];
int parent[MAXN];
int cnt, num;
int Lowbit(int x)
{
return x & (-x);
}
void Add(int x, int val, int n)
{
if(x <= 0) return;
for(int i = x; i <= n; i += Lowbit(i)) {
s[i] += val;
}
}
int Sum(int x)
{
int res = 0;
for(int i = x; i > 0; i -= Lowbit(i)) {
res += s[i];
}
return res;
}
void Dfs(int u, int fa, int dep)
{
parent[u] = fa;
seq[++cnt] = u;
seq1[++num] = u;
first[u] = num;
depth[num] = dep;
st[u] = cnt;
int len = edge[u].size();
for(int i = 0; i < len; i++) {
int v = edge[u][i];
if(v != fa) {
Dfs(v, u, dep+1);
seq1[++num] = u;
depth[num] = dep;
}
}
seq[++cnt] = u;
ed[u] = cnt;
}
void RMQ_Init(int n)
{
for(int i = 1; i <= n; i++) {
dp[i][0] = i;
}
for(int j = 1; (1 << j) <= n; j++) {
for(int i = 1; i + (1 << j) - 1 <= n; i++) {
int a = dp[i][j-1], b = dp[i + (1 << (j-1))][j-1];
dp[i][j] = depth[a] < depth[b] ? a : b;
}
}
}
int RMQ_Query(int l, int r)
{
int k = 0;
while((1 << (k + 1)) <= r - l + 1) k++;
int a = dp[l][k], b = dp[r-(1< b) a ^= b, b ^= a, a ^= b;
int res = RMQ_Query(a, b);
return seq1[res];
}
void Init(int n)
{
for(int i = 0; i <= n; i++) {
edge[i].clear();
}
memset(s, 0, sizeof(s));
}
int main()
{
int n, op;
int u, v, w;
int cmd;
while(scanf("%d %d", &n, &op) != EOF) {
Init(n);
for(int i = 0; i < n-1; i++) {
scanf("%d %d", &u, &v);
edge[u].push_back(v);
edge[v].push_back(u);
}
cnt = 0, num = 0;
Dfs(1, -1, 0);
RMQ_Init(num);
while(op--) {
scanf("%d", &cmd);
if(cmd == 0) {
scanf("%d %d", &u, &w);
Add(st[u], w, cnt);
Add(ed[u], -w, cnt);
}
else if(cmd == 1) {
scanf("%d %d", &u, &v);
int lca = LCA(u, v);
printf("%d\n", Sum(st[u]) + Sum(st[v]) - Sum(st[lca]) - Sum(st[parent[lca]]));
}
}
}
return 0;
} 题型五：对于一个点X的子树内的所有点加上一个值W，查询某个点的值。
那么只要在子树总都+w就好了，就是维护区间就是st[X] + w,ed[X] - w。
查询只要找que(X)就好了，注意如果点有原值的话要加上原值。
#include
#define mem(a,b) memset(a,b,sizeof(a))
#define FOR(i,a,b) for(int i = a;i <= b;i++)
using namespace std;
typedef long long ll;
const int maxn = 100005;
const int INF = 0x3f3f3f3f;
struct ppp
{
int v,nex;
}e[maxn * 2];
int head[maxn],q,n;
int dp[maxn * 2][19],tole;
int dep[maxn],pos[maxn],last[maxn * 2];
int cnt;
int st[maxn],ed[maxn];
void make_edge(int u,int v)
{
e[tole].v = v,e[tole].nex = head[u];head[u] = tole++;
}
int sum[maxn * 2],parent[maxn];
inline int lowbit (int x){
return x & -x;
}
void add(int x,int v){
while(x <= cnt){
sum[x] += v;
x += lowbit(x);
}
}
int que(int x){
int ret = 0;
while(x >= 1){
ret += sum[x];
x -= lowbit(x);
}
return ret;
}
void dfs(int u,int fa,int deep)
{
parent[u] = fa;
dep[u] = deep;
pos[u] = ++cnt;
st[u] = cnt;
last[cnt] = u;
int v;
for(int i = head[u];~i;i = e[i].nex)
{
v = e[i].v;
if(v == fa)continue;
dfs(v,u,deep + 1);
pos[u] = ++cnt;
last[cnt] = u;
}
ed[u] = cnt;
}
void ST()
{
for(int i = 1;i <= cnt;i++)
dp[i][0] = last[i];
for(int j = 1;(1 << j) <= cnt;j++)
for(int i = 1;i + (1 << j) - 1 <= cnt;i++)
{
dp[i][j] = dp[i][j - 1];
if(dep[dp[i + (1 << (j - 1))][j - 1]] < dep[dp[i][j - 1]])dp[i][j] = dp[i + (1 << (j - 1))][j - 1];
}
}
int query(int l,int r)
{
int k = 0;
while((1 << (k + 1)) <= r - l + 1)k++;
if(dep[dp[l][k]] < dep[dp[r - (1 << k) + 1][k]])
return dp[l][k];
else return dp[r - (1 << k) + 1][k];
}
void init()
{
mem(head,-1);
tole = 0;
cnt = 0;
mem(sum,0);
}
int main()
{
while(~scanf("%d",&n))
{
init();
for(int i = 1,a,b;i <= n - 1;i++){
scanf("%d%d",&a,&b);
make_edge(a,b);
make_edge(b,a);
}
dfs(1,-1,1);
ST();
scanf("%d",&q);//查询个数
char c;
int a,b;
while(q--){
scanf(" %c",&c);
if(c == 'Q'){
scanf("%d",&a);
printf("%d\n",que(st[a]));//其中这个是更改后的值统计，如果有原值的话要加上原值
}else {
int w;
scanf("%d%d",&a,&w);
add(st[a],w);
add(ed[a],-w);
}
}
}
} 题型六：对子树X里所有的节点加上一个值W，查询某个子树的权值和。
明显的区间修改，区间查询，那么。。。线段树。。
修改：就在st[X]到ed[X]上都加一个W
查询：直接查询st[X]到ed[X]，记住都到的值除以2，因为每个点都算了两遍
代码就不挂了。
题型七：对于子树X内的所有点都加上一个值W，查询X到Y之间的路径上所有点权和。
那么这题就跟题型四很像，就是修改的时候改成修改一段区间，从X到Y路径上的话直接就套用题型四的做法。
贴一下别人的代码：
typedef struct {
int l, r, sum, add;
} Seg;
const int MAXN = 1e5+10;
Seg T[4*MAXN];
vector edge[MAXN];
int s[2*MAXN];
int s1[2*MAXN];
int seq[2*MAXN];
int seq1[2*MAXN];
int depth[2*MAXN];
int first[MAXN];
int dp[2*MAXN][25];
int parent[MAXN];
int st[MAXN];
int ed[MAXN];
int cnt, cnt1;
int Lowbit(int x)
{
return x & (-x);
}
void Add(int x, int val, int n)
{
if(x <= 0) return ;
for(int i = x; i <= n; i += Lowbit(i)) {
s[i] += val;
}
}
void Add1(int x, int val, int n)
{
if(x <= 0) return ;
for(int i = x; i <= n; i += Lowbit(i)) {
s1[i] += val;
}
}
int Sum(int x)
{
int res = 0;
for(int i = x; i > 0; i -= Lowbit(i)) {
res += s[i];
}
return res;
}
int Sum1(int x)
{
int res = 0;
for(int i = x; i > 0; i -= Lowbit(i)) {
res += s1[i];
}
return res;
}
void RMQ_Init(int n)
{
for(int i = 1; i <= n; i++) {
dp[i][0] = i;
}
for(int j = 1; (1 << j) <= n; j++) {
for(int i = 1; i + (1 << j) - 1 <= n; i++) {
int a = dp[i][j-1], b = dp[i + (1 << (j-1))][j-1];
dp[i][j] = depth[a] < depth[b] ? a : b;
}
}
}
int RMQ_Query(int l, int r)
{
int k = 0;
while((1 << (k + 1)) <= r - l + 1) k++;
int a = dp[l][k], b = dp[r-(1 << k)+1][k];
return depth[a] < depth[b] ? a : b;
}
int LCA(int u, int v)
{
int a = first[u], b = first[v];
if(a > b) a ^= b, b ^= a, a ^= b;
int res = RMQ_Query(a, b);
return seq1[res];
}
void Dfs(int u, int fa, int dep)
{
seq[++cnt] = u;
seq1[++cnt1] = u;
first[u] = cnt1;
parent[u] = fa;
depth[cnt1] = dep;
st[u] = cnt;
int len = edge[u].size();
for(int i = 0; i < len; i++) {
int v = edge[u][i];
if(v != fa) {
Dfs(v, u, dep+1);
seq1[++cnt1] = u;
depth[cnt1] = dep;
}
}
seq[++cnt] = u;
ed[u] = cnt;
}
void Init(int n)
{
for(int i = 0; i <= n; i++) {
edge[i].clear();
}
memset(s, 0, sizeof(s));
memset(s1, 0, sizeof(s1));
}
void Debug()
{
int u, v;
while(1) {
scanf("%d %d", &u, &v);
printf("The LCA of %d %d is %d\n", u, v, LCA(u, v));
}
}
int main()
{
int n, op;
int u, v, w;
int cmd;
while(scanf("%d %d", &n, &op) != EOF) {
Init(n);
for(int i = 0; i < n-1; i++) {
scanf("%d %d", &u, &v);
edge[u].push_back(v);
edge[v].push_back(u);
}
cnt = cnt1 = 0;
Dfs(1, 0, 0);
RMQ_Init(cnt1);
while(op--) {
scanf("%d", &cmd);
if(cmd == 0) {
scanf("%d %d", &u, &w);
Add(st[u], w * (1 - depth[first[u]]), cnt);
Add(ed[u], -w * (1 - depth[first[u]]), cnt);
Add1(st[u], w, cnt);
Add1(ed[u], -w, cnt);
}
else if(cmd == 1) {
scanf("%d %d", &u, &v);
int lca = LCA(u, v);
int par = parent[lca];
int ans = Sum(st[u]);
ans += depth[first[u]] * Sum1(st[u]);
ans += Sum(st[v]);
ans += depth[first[v]] * Sum1(st[v]);
ans -= Sum(st[lca]);
ans -= depth[first[lca]] * Sum1(st[lca]);
ans -= Sum(st[par]);
ans -= depth[first[par]] * Sum1(st[par]);
printf("%d\n", ans);
}
}
}
return 0;
}