数学的极限

引言

即使到了公元5000年，如果宇宙仍然存在，知识也仍然放射出光芒的话，人们仍然会把哥德尔的不完备定理和量子力学的不确定性原理看成是一切知识的中心。——J.惠勒

如果捡到一盏神灯，想戏弄一下灯神，许下一个他也无法实现的愿望。你该怎么做？

如果希望你来说明“唯有变是不变的”这个命题是错误的，你该怎么做？

带着这两个问题，让我们进入神奇的哥德尔不完备定理，看到数学的极限。问题的答案，将在文末给出。

为何数学这么重要

数学是通过公理的构架和抽象化的逻辑推理获得数学的定理和定律。这样一个纯粹抽象的存在，通过逻辑来构建，形成一个内在相容、一致和可判断的世界。数学是人类认识自然、掌握自然规律最有效最严谨的工具。现代的科学理论都需要数学来支撑和表达。难怪，有人说上帝是一个数学家。

希尔伯特的努力

因为数学如此重要，给全部数学提供一个坚实的安全基础，是一件重要的工作。而这个工作，在1922年，被称为“数学界最后一位全才”的希尔伯特果断站出来，要将整个数学体系严格公理化，然后运用元数学来证明整个数学体系是建立在牢不可破的坚实基础上的。

这个宏伟的目标吸引了无数的数学家，前赴后继加入这项工作。他们坚信，数学大厦的基础是坚实的，任何数学真理，都能运用逻辑推理将其整合到数学的宏伟的大厦中。也就是说，在数学中，通过逻辑，我们必定能知道我们想要知道的东西，这只不过是个时间问题。

哥德尔的结论

1931年，作为希尔伯特计划的一个追随者，年轻的数学家哥德尔本来想从正面证明希尔伯特问题。没想到当他完成对算术系统的探索后，去得到了相反的结论，击碎了希尔伯特的梦想。

这就是哥德尔不完备定理，其包含了两个定理：

1、任何无矛盾的公理体系，只要包含初等数学的陈述，则必定存在一个不可判定命题，用这组公理不能判定其真假。也就是说，“无矛盾”和“完备”是不能同时满足的。

2、任何无矛盾的公理体系，只要包含初等算术的陈述，它就不能用于证明它本身的无矛盾性。

哥德尔不完备定理的证明过程十分复杂，但是其核心思想是运用了逻辑学里的“自指”的概念。也就是：“这个陈述，陈述了它自己。”

比如，一个村里的理发师的门口写着：我给村里所有不给自己理发的人理发。这时在他自己身上就出现了一个悖论。他也是村里人，如果他不给自己理发，按他的说法，就应该给自己理发。可给自己理发，就不应该由他来理发。于是就出现了矛盾。

问题的答案

如何让灯神也不能满足你许的愿望呢？

你只要说：“我希望我的愿望不被满足！”如果灯神答应不满足你的愿望，那刚才你的那句话也是愿望，就被满足了，而产生了矛盾。灯神怎么做都是自相矛盾的。

如何证明“唯有变是不变的”这个命题是错误的？

这一看，这个命题简直不能更对了。可如果我问：“您这个‘唯有变是不变的’还变不变了？”你能怎么回答呢？如果答变，就与这个命题的内容中的不变相矛盾了。如果答不变，也是与命题中的变相矛盾了。左右都矛盾，那只能说明这个命题是错的。

后话

哥德尔不完备定理，使我们意识到人类也许无法获得对自然的最终认识，任何涉及主客观世界的理论体系，都是不完备。任何一个强有力的系统，也一定是不完全的。我们寻求知识的努力也没有终点，因为我们始终都有获得新发现的挑战。